「微分積分って何ですか」に一言で答えるなら速さと道のり

微分は速さ、積分は道のり。一言で答えるならこの形になります。

小学校で習った「道のり ÷ 時間 = 速さ」と「速さ × 時間 = 道のり」を、真面目にやり直したものが微分と積分です。

微分積分って何ですか。

微分は速さを出す計算です。時速 40 キロというときの 40 が、微分で出てくる値にあたります。

積分はその逆で、速さから道のりを出す計算。時速 40 キロで 3 時間走れば 120 キロという計算が、積分の一番やさしい形です。

割り算と掛け算をやっているだけに見えますが、その割り算と掛け算のしかたに工夫が入っています。

割り算とどこが違うんですか。

割り算では、どの区間で割るかを決めないと計算できません。

2 時間で 100 キロ走ったなら時速 50 キロ。これは 2 時間ぶんをならした値で、途中のどの瞬間の速さでもありません。

途中では 80 キロ出ていたかもしれないし、信号で止まっていたかもしれない。ならした値は、その差を全部つぶしてしまいます^[1]。

そこで区間を短くします。1 分、1 秒、 $0.001$ 秒と縮めていくと、値は 1 つの数に近づいていく。その行き先を、その瞬間の速さと呼ぶことにする。

これが微分です。割り算そのものは変わっていません。変えたのは、割る区間の幅です。

赤い直線がだんだん寝ていき、ある傾きで止まります。この傾きが 2 秒後の速さです。

積分のほうはどうなるんですか。

積分は掛け算を細かく刻みます。

速さがずっと変わらないなら、掛けるだけで道のりが出ます。時速 40 キロで 3 時間なら 120 キロ。

でも速さが変わっていたら、どの速さを掛けるのかが決まりません。

そこで時間を細かく分けます。 $0.001$ 秒のあいだなら速さはほとんど変わらないので、その区間だけは掛け算が使える。

区間ごとの答えを全部足し合わせると、道のりが出ます。これが積分です^[2]。

速さのグラフを描くと、この足し算は棒の面積を集める作業になります。

棒 1 本の面積が「速さ × 短い時間」です。棒を細くして本数を増やすほど、本当の道のりに近づきます。

なぜ難しいと言われるんですか。

割り算と掛け算そのものは難しくありません。難しいのは「狭くする」という考え方のほうです。

区間の幅を $0$ に近づけると言いますが、 $0$ そのものにはしません。 $0$ で割ることはできないからです。

近づけるが到達はしない、という言い回しに慣れるまで時間がかかります。ここが最初のつまずきどころ^[3]。

もう 1 つは、狭い範囲で見ると景色が変わることです。曲がった線も、強く拡大すれば直線に見えてきます。

遠くから見る

曲線は曲線のまま。傾きが場所ごとに違うので、1 つの数では言えない

近づいて見る

ほとんど直線に見える。傾きが 1 つに決まり、それが微分係数になる

この見方の切りかえが、微分と積分の共通の土台です。狭くとれば単純な計算が使える、という発想になります。

微分と積分がセットで出てくるのはどうしてですか。

互いに逆の操作だからです。道のりを微分すると速さになり、速さを積分すると道のりに戻ります。

$f (t) = t^{2} + t$ を微分すると $2 t + 1$ 。これが速さの式です。

逆に $2 t + 1$ を積分すると $t^{2} + t$ に戻ります。行って帰ってこられる関係になっている。

片方を覚えれば、もう片方は逆をたどるだけ。だから教科書でも並べて扱います。

数で往復してみる

$f (t) = t^{2} + t$ を使って、実際に行って帰ってきます。

微分すると $2 t + 1$ 。 $t = 0$ で $1$ 、 $t = 1$ で $3$ 、 $t = 2$ で $5$ と速さが増えていきます。

$0$ 秒から $2$ 秒までに進んだ道のりは $f (2) - f (0) = 6 - 0 = 6$ です。

速さのグラフで確かめます。 $t = 0$ で高さ $1$ 、 $t = 2$ で高さ $5$ の台形になる。

$\frac{( 1 + 5 ) \times 2}{2} = 6$

面積も $6$ でした。微分で出した速さの式から、台形の面積として道のりが戻ってきています。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

上の曲線の傾きが下の高さ、下の面積が上の高さ。2 つのグラフが裏表の関係になっています。

数学 II で実際にやること

数学 II で扱うのは多項式だけです。 $x^{2}$ や $x^{3} - 2 x$ のような式を微分したり積分したりします。

三角関数や指数関数の微分は数学 III に回ります。まずは肩の数を降ろす計算に慣れる段階です^[4]。

$x^{3}$ を微分すると $3 x^{2}$ 、 $x^{4}$ を微分すると $4 x^{3}$ 。肩が前へ降りて、肩の数が 1 減る。

式	微分すると	意味
$t^{2}$	$2 t$	位置から速さへ
$2 t + 1$	$2$	速さから加速度へ
$5$	$0$	止まっている

計算そのものは 1 行で終わります。手が動くようになってから、意味の話に戻ると入りやすい。

位置が $f (t) = t^{2} + t$ で表される運動の、 $3$ 秒後の速さはいくつですか。

$7$
$12$
$4$

__RESULT__

微分すると $2 t + 1$ なので、 $t = 3$ を入れて $7$ です。 $12$ は $f (3)$ の値、つまり $3$ 秒間に進んだ道のりにあたります。

速さと道のり。この 2 つの言葉に置きかえるだけで、微分と積分は最後まで説明できます。

出典

The Rate of Change of a Function. Calculus Early Transcendentals, Simon Fraser University.

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

3.3 Differentiation Rules. Calculus Volume 1, OpenStax.

微分は速さ、積分は道のり。小学校で習った「道のり ÷ 時間」と「速さ × 時間」を真面目にやり直したものです。割り算のままだと区間をならした平均しか出ないので、割る幅を $0$ へ縮めていく。掛け算のほうは時間を細かく刻み、区間ごとの答えを足し合わせます。難しく感じるのは、近づけるが到達はしないという言い回しと、狭くとると曲線が直線に見えるという見方の切りかえ。$t^2 + t$ を微分して $2t + 1$、その台形の面積が $6$ で道のりに戻るところまで数で追いました。