「微分積分って何ですか」に一言で答えるなら速さと道のり

微分は速さ、積分は道のり。一言で答えるならこの形になります。

小学校で習った「道のり ÷ 時間 = 速さ」と「速さ × 時間 = 道のり」を、真面目にやり直したものが微分と積分です。

微分積分って何ですか。

微分は速さを出す計算です。時速 40 キロというときの 40 が、微分で出てくる値にあたります。

積分はその逆で、速さから道のりを出す計算。時速 40 キロで 3 時間走れば 120 キロという計算が、積分の一番やさしい形です。

割り算と掛け算をやっているだけに見えますが、その割り算と掛け算のしかたに工夫が入っています。

割り算とどこが違うんですか。

割り算では、どの区間で割るかを決めないと計算できません。

2 時間で 100 キロ走ったなら時速 50 キロ。これは 2 時間ぶんをならした値で、途中のどの瞬間の速さでもありません。

途中では 80 キロ出ていたかもしれないし、信号で止まっていたかもしれない。ならした値は、その差を全部つぶしてしまいます^[1]。

そこで区間を短くします。1 分、1 秒、$0.001$ 秒と縮めていくと、値は 1 つの数に近づいていく。その行き先を、その瞬間の速さと呼ぶことにする。

これが微分です。割り算そのものは変わっていません。変えたのは、割る区間の幅です。

赤い直線がだんだん寝ていき、ある傾きで止まります。この傾きが 2 秒後の速さです。

積分のほうはどうなるんですか。

積分は掛け算を細かく刻みます。

速さがずっと変わらないなら、掛けるだけで道のりが出ます。時速 40 キロで 3 時間なら 120 キロ。

でも速さが変わっていたら、どの速さを掛けるのかが決まりません。

そこで時間を細かく分けます。$0.001$ 秒のあいだなら速さはほとんど変わらないので、その区間だけは掛け算が使える。

区間ごとの答えを全部足し合わせると、道のりが出ます。これが積分です^[2]。

速さのグラフを描くと、この足し算は棒の面積を集める作業になります。

棒 1 本の面積が「速さ × 短い時間」です。棒を細くして本数を増やすほど、本当の道のりに近づきます。

なぜ難しいと言われるんですか。

割り算と掛け算そのものは難しくありません。難しいのは「狭くする」という考え方のほうです。

区間の幅を $0$ に近づけると言いますが、$0$ そのものにはしません。$0$ で割ることはできないからです。

近づけるが到達はしない、という言い回しに慣れるまで時間がかかります。ここが最初のつまずきどころ^[3]。

もう 1 つは、狭い範囲で見ると景色が変わることです。曲がった線も、強く拡大すれば直線に見えてきます。

この見方の切りかえが、微分と積分の共通の土台です。狭くとれば単純な計算が使える、という発想になります。

微分と積分がセットで出てくるのはどうしてですか。

互いに逆の操作だからです。道のりを微分すると速さになり、速さを積分すると道のりに戻ります。

$f(t)=t^2+t$ を微分すると $2t+1$。これが速さの式です。

逆に $2t+1$ を積分すると $t^2+t$ に戻ります。行って帰ってこられる関係になっている。

片方を覚えれば、もう片方は逆をたどるだけ。だから教科書でも並べて扱います。

数で往復してみる

$f(t)=t^2+t$ を使って、実際に行って帰ってきます。

微分すると $2t+1$。$t=0$ で $1$、$t=1$ で $3$、$t=2$ で $5$ と速さが増えていきます。

$0$ 秒から $2$ 秒までに進んだ道のりは $f(2)-f(0)=6-0=6$ です。

速さのグラフで確かめます。$t=0$ で高さ $1$、$t=2$ で高さ $5$ の台形になる。

$$\frac{(1+5)\times 2}{2}=6$$

面積も $6$ でした。微分で出した速さの式から、台形の面積として道のりが戻ってきています。

上の曲線の傾きが下の高さ、下の面積が上の高さ。2 つのグラフが裏表の関係になっています。

数学 II で実際にやること

数学 II で扱うのは多項式だけです。$x^2$ や $x^3-2x$ のような式を微分したり積分したりします。

三角関数や指数関数の微分は数学 III に回ります。まずは肩の数を降ろす計算に慣れる段階です^[4]。

$x^3$ を微分すると $3x^2$、$x^4$ を微分すると $4x^3$。肩が前へ降りて、肩の数が 1 減る。

計算そのものは 1 行で終わります。手が動くようになってから、意味の話に戻ると入りやすい。

速さと道のり。この 2 つの言葉に置きかえるだけで、微分と積分は最後まで説明できます。

出典