解を指定した区間に収めたい！二次方程式の解の配置の基本

$x^2-2mx+m+6=0$ の 2 つの解が、どちらも $1$ より大きくなる $m$ をさがします。解そのものは $m$ を含む根号の形になり、大小を比べるのが重いところです。

$f(x)=x^2-2mx+m+6$ のグラフで考えます。下に開いていない放物線が、$x=1$ より右で $x$ 軸を 2 回切る形。

そのためには 3 つがそろえばよい。$x$ 軸と交わること、軸が $1$ より右にあること、$f(1)$ が正であること。

判別式だけでは足りません。$x$ 軸を 2 回切っていても、その 2 点が $1$ より左にあるかもしれない。

軸だけでも足りません。軸が右にあっても、放物線が $x=1$ をまたいでいれば解の 1 つが左に落ちます。

3 つの条件

$a>0$ で、2 解がともに $k$ より大きくなる条件は次の 3 つです。

3 つ目が「境界の外にいる」ことを表しています。$f(k)$ が正なら、$x=k$ は 2 解の外側。

$a<0$ のときは、$f(k)<0$ に向きが変わります。$a$ の符号で不等号がひっくり返る。

例：2 解がともに $1$ より大きい

$x^2-2mx+m+6=0$ に、3 つの条件をあてます。$f(x)=x^2-2mx+m+6$ です。

判別式は $\frac{D}{4}=m^2-(m+6)=m^2-m-6$。

$$(m-3)(m+2)\ge 0$$

$m\le -2$ または $m\ge 3$ です。

軸は $x=m$ なので、$m>1$。

$f(1)=1-2m+m+6=7-m$ で、$7-m>0$ から $m<7$。

3 つを数直線で重ねると、$3\le m<7$ が残ります。

$m=7$ のとき $x^2-14x+13=0$ で、解は $1$ と $13$ です。$1$ は「$1$ より大きい」を満たさないため、$m=7$ は入りません。

$m=3$ では重解 $x=3$ になります。「2 つの解」が重なった場合を認めるかどうかは、問題文の書き方で決まる。

例：2 解がともに負

$x^2+2mx+m+2=0$ の 2 解がともに負になる $m$ を求めます。向きが左になるだけで、手順は同じ。

判別式は $\frac{D}{4}=m^2-m-2=(m-2)(m+1)\ge 0$ から $m\le -1$ または $m\ge 2$。

軸は $x=-m$ で、$-m<0$ から $m>0$。

$f(0)=m+2>0$ から $m>-2$。

3 つを重ねると $m\ge 2$ です。$m=2$ のとき $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ で、重解 $x=-2$ になります。

例：解が正と負に 1 つずつ

$x^2+(m-1)x+m-3=0$ が正の解と負の解を 1 つずつもつ $m$ をさがします。

このときは $f(0)<0$ だけで足ります。$f(0)$ が負なら、放物線は $x$ 軸より下を通り、左右に 1 回ずつ切るしかない。

$$f(0)=m-3<0$$

$m<3$ です。判別式も軸も調べていません。

$f(0)<0$ の時点で $x$ 軸を 2 回切っているため、判別式は自動的に正になります。軸の位置も問われない。

例：区間の中に 2 解がある

$x^2-2mx+m+6=0$ の 2 解が、どちらも $1$ と $6$ のあいだにある $m$ を求めます。境界が 2 つに増えます。

判別式は前と同じで $m\le -2$ または $m\ge 3$。

軸は $1<m<6$。

$f(1)=7-m>0$ から $m<7$。

$f(6)=36-12m+m+6=42-11m>0$ から $m<\frac{42}{11}$。

$\frac{42}{11}\approx 3.82$ なので、重ねると $3\le m<\frac{42}{11}$ です。

区間の両端で $f$ が正、軸が区間の中、判別式が $0$ 以上。条件は 4 つになります。

表は $a>0$ の場合です。$a<0$ なら $f$ の符号の条件がすべて反対になります。

よくある誤り

判別式を落とす形と、軸を落とす形が多い。どちらか 1 つでも欠けると、範囲が広くなります。

3 番目を落とすと、2 解がともに $k$ より小さい場合まで混ざります。$f(k)>0$ は、$k$ が 2 解の外側だと言っているだけで、左右までは決めていません。

解を根号のまま比べようとすると計算が重くなります。グラフの形を、判別式と軸と端の値の 3 つに置きかえる。境界をはさむ場合だけは、端の値 1 つで決まります。