解を指定した区間に収めたい！二次方程式の解の配置の基本

$x^{2} - 2 m x + m + 6 = 0$ の 2 つの解が、どちらも $1$ より大きくなる $m$ をさがします。解そのものは $m$ を含む根号の形になり、大小を比べるのが重いところです。

$f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 6$ のグラフで考えます。下に開いていない放物線が、 $x = 1$ より右で $x$ 軸を 2 回切る形。

そのためには 3 つがそろえばよい。 $x$ 軸と交わること、軸が $1$ より右にあること、 $f (1)$ が正であること。

判別式だけでは足りません。 $x$ 軸を 2 回切っていても、その 2 点が $1$ より左にあるかもしれない。

軸だけでも足りません。軸が右にあっても、放物線が $x = 1$ をまたいでいれば解の 1 つが左に落ちます。

3 つの条件

$a > 0$ で、2 解がともに $k$ より大きくなる条件は次の 3 つです。

判別式が

0

以上。

x

軸と交わる、または接する。

軸が

k

より右。

- \frac{b}{2 a} > k

。

f (k) > 0

。境界での値が正。

3 つ目が「境界の外にいる」ことを表しています。 $f (k)$ が正なら、 $x = k$ は 2 解の外側。

$a < 0$ のときは、 $f (k) < 0$ に向きが変わります。 $a$ の符号で不等号がひっくり返る。

判別式で解があることを確かめる

軸の位置で左右を決める

f(k) の符号で境界の外にあることを見る

例：2 解がともに $1$ より大きい

$x^{2} - 2 m x + m + 6 = 0$ に、3 つの条件をあてます。 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 6$ です。

判別式は $\frac{D}{4} = m^{2} - (m + 6) = m^{2} - m - 6$ 。

$(m - 3) (m + 2) \geq 0$

$m \leq - 2$ または $m \geq 3$ です。

軸は $x = m$ なので、 $m > 1$ 。

$f (1) = 1 - 2 m + m + 6 = 7 - m$ で、 $7 - m > 0$ から $m < 7$ 。

3 つを数直線で重ねると、 $3 \leq m < 7$ が残ります。

$m = 7$ のとき $x^{2} - 14 x + 13 = 0$ で、解は $1$ と $13$ です。 $1$ は「 $1$ より大きい」を満たさないため、 $m = 7$ は入りません。

$m = 3$ では重解 $x = 3$ になります。「2 つの解」が重なった場合を認めるかどうかは、問題文の書き方で決まる。

「異なる 2 つの解」なら $D > 0$ 、「2 つの解」なら $D \geq 0$ で重解も含めます。

問題文の「異なる」の 3 文字で、範囲の端が入るか入らないかが変わる。

例：2 解がともに負

$x^{2} + 2 m x + m + 2 = 0$ の 2 解がともに負になる $m$ を求めます。向きが左になるだけで、手順は同じ。

判別式は $\frac{D}{4} = m^{2} - m - 2 = (m - 2) (m + 1) \geq 0$ から $m \leq - 1$ または $m \geq 2$ 。

軸は $x = - m$ で、 $- m < 0$ から $m > 0$ 。

$f (0) = m + 2 > 0$ から $m > - 2$ 。

3 つを重ねると $m \geq 2$ です。 $m = 2$ のとき $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ で、重解 $x = - 2$ になります。

例：解が正と負に 1 つずつ

$x^{2} + (m - 1) x + m - 3 = 0$ が正の解と負の解を 1 つずつもつ $m$ をさがします。

このときは $f (0) < 0$ だけで足ります。 $f (0)$ が負なら、放物線は $x$ 軸より下を通り、左右に 1 回ずつ切るしかない。

$f (0) = m - 3 < 0$

$m < 3$ です。判別式も軸も調べていません。

$f (0) < 0$ の時点で $x$ 軸を 2 回切っているため、判別式は自動的に正になります。軸の位置も問われない。

2 解が同じ側にある

判別式、軸、 $f (k)$ の符号の 3 つがいる

2 解が境界をはさむ

$f (k)$ の符号だけでよい。ほかの 2 つは自動的に満たされる

例：区間の中に 2 解がある

$x^{2} - 2 m x + m + 6 = 0$ の 2 解が、どちらも $1$ と $6$ のあいだにある $m$ を求めます。境界が 2 つに増えます。

判別式は前と同じで $m \leq - 2$ または $m \geq 3$ 。

軸は $1 < m < 6$ 。

$f (1) = 7 - m > 0$ から $m < 7$ 。

$f (6) = 36 - 12 m + m + 6 = 42 - 11 m > 0$ から $m < \frac{42}{11}$ 。

$\frac{42}{11} \approx 3.82$ なので、重ねると $3 \leq m < \frac{42}{11}$ です。

区間の両端で $f$ が正、軸が区間の中、判別式が $0$ 以上。条件は 4 つになります。

求める配置	条件
2 解とも $k$ より大	$D \geq 0$ 、軸 $> k$ 、 $f (k) > 0$
2 解とも $k$ より小	$D \geq 0$ 、軸 $< k$ 、 $f (k) > 0$
$k$ をはさむ	$f (k) < 0$
$p$ と $q$ の間に 2 解	$D \geq 0$ 、 $p <$ 軸 $< q$ 、 $f (p) > 0$ 、 $f (q) > 0$

表は $a > 0$ の場合です。 $a < 0$ なら $f$ の符号の条件がすべて反対になります。

よくある誤り

判別式を落とす形と、軸を落とす形が多い。どちらか 1 つでも欠けると、範囲が広くなります。

判別式だけを調べて、解の位置を見ない。

軸だけを調べて、

x

軸と交わるかを見ない。

f (k) > 0

だけで、軸の位置を見ない。

a < 0

のときに

f (k) > 0

のまま計算する。

「異なる 2 つ」と「2 つ」を同じに扱い、

D > 0

と

D \geq 0

をとりちがえる。

3 番目を落とすと、2 解がともに $k$ より小さい場合まで混ざります。 $f (k) > 0$ は、 $k$ が 2 解の外側だと言っているだけで、左右までは決めていません。

$x^{2} - 2 m x + 3 m = 0$ の 2 解がともに正になるには、軸の条件はどれですか。

$m > 0$
$m > 3$
$3 m > 0$ だけでよい

__RESULT__

軸は $x = m$ なので、 $m > 0$ が軸の条件です。これに $\frac{D}{4} = m^{2} - 3 m \geq 0$ と $f (0) = 3 m > 0$ を重ねます。

$x^{2} + 2 x + m - 5 = 0$ が正の解と負の解を 1 つずつもつ $m$ の範囲はどれですか。

$m < 5$
$m < 5$ かつ $m > - 6$
$m > 5$

__RESULT__

$f (0) = m - 5 < 0$ だけで決まります。 $f (0)$ が負なら放物線は $x$ 軸より下を通るため、判別式も軸も調べる必要がありません。

解を根号のまま比べようとすると計算が重くなります。グラフの形を、判別式と軸と端の値の 3 つに置きかえる。境界をはさむ場合だけは、端の値 1 つで決まります。

解を根号のまま比べる代わりに、放物線の形を 3 つに置きかえます。判別式で $x$ 軸と交わること、軸の位置で左右、$f(k)$ の符号で境界の外にあること。$x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ の 2 解がともに $1$ より大きい範囲は $3 \leq m < 7$ になります。境界をはさむ配置なら $f(k) < 0$ だけで足りる理由、$a < 0$ で不等号が反対になること、区間の中に収める場合の 4 条件まで。