4 次式でも置き換えれば二次方程式になる（複二次式の解き方）

$x^4-5x^2+4=0$ には $x$ の 4 乗と 2 乗しかありません。$x^4=(x^2{)}^2$ だから、$t=x^2$ と置くと二次方程式に変わります。

$$t^2-5t+4=0$$

$(t-1)(t-4)=0$ から $t=1,4$ です。$t$ で止めずに $x$ へ戻します。

$x^2=1$ から $x=\pm 1$、$x^2=4$ から $x=\pm 2$。答えは 4 つ。

$$x=-2,-1,1,2$$

$t$ の解は 2 つ、$x$ の解は 4 つです。正の $t$ 1 つにつき $x$ が 2 つ対応しています。

置き換えると範囲もついてくる

$t=x^2$ には $t\ge 0$ という制限があります。この制限は、$t$ の方程式を解いたあとに効きます。

$x^4+3x^2-4=0$ を見ます。$t^2+3t-4=0$ から $(t+4)(t-1)=0$、$t=-4,1$。

$t=-4$ は $x^2=-4$ という意味です。2 乗して負になる実数はないため、こちらから $x$ は現れません。

$t=1$ だけが残り、$x=\pm 1$ の 2 つが答えになります。

$t$ の符号で $x$ の個数が決まる

正の $t$ からは $x$ が 2 個、$t=0$ からは $x=0$ の 1 個、負の $t$ からは 1 個も現れません。

$x^4-4x^2=0$ は $t(t-4)=0$ で $t=0,4$ です。$x=0,\pm 2$ の 3 個になります。

$t$ の方程式が実数解をもたない場合も $0$ 個です。$x^4+x^2+1=0$ の $t$ 判別式は $1-4=-3$。

例：$t$ が重解になる

$x^4-2x^2+1=0$ は $(t-1{)}^2=0$ となり、$t=1$ の 1 つだけ。

$x^2=1$ から $x=\pm 1$ で、$x$ の解は 2 個です。もとの式は $(x^2-1{)}^2=(x-1{)}^2(x+1{)}^2$ なので、$x=1$ も $x=-1$ も 2 重の解になっています。

$t$ が重解だからといって、$x$ が 1 個になるわけではありません。$t$ の重解が正なら $x$ は 2 個。

例：因数分解でも解ける

$x^4-5x^2+4$ は、置き換えずに直接 2 つのかっこへ分けられます。

$$\begin{array}{rl}{x}^4-5x^2+4& =(x^2-1)(x^2-4)\\ & =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\end{array}$$

$t$ の因数分解 $(t-1)(t-4)$ が、そのまま $x^2$ の因数分解になっている。置き換えると、この分け方が見つけやすくなります。

例：同じ式が 2 か所に現れるとき

$(x^2-2x{)}^2-2(x^2-2x)-3=0$ では、$x^2-2x$ が 2 か所に現れます。ここを $t$ と置く。

$$t^2-2t-3=0$$

$(t-3)(t+1)=0$ から $t=3,-1$ です。今度の $t$ には $0$ 以上という制限がありません。

$t=3$ なら $x^2-2x-3=0$ で $x=3,-1$。$t=-1$ なら $x^2-2x+1=0$ で $x=1$ の重解。

答えは $x=-1,1,3$ の 3 個になります。

$t=x^2-2x$ の範囲は $t\ge -1$ です。$t=-1$ は端にあたるため、$x$ が 1 個しか対応しません。

例：係数が左右対称のとき

$x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$ の係数は $1,-5,8,-5,1$ と、前から読んでも後ろから読んでも同じ形です。

$x=0$ は解ではないため、両辺を $x^2$ で割れます。

$$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$

$x^2+\frac{1}{x^2}$ と $x+\frac{1}{x}$ にまとめる。

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0$$

$t=x+\frac{1}{x}$ と置くと、$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ だから $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ です。

$$\begin{array}{rl}{t}^2-2-5t+8& =0\\ t^2-5t+6& =0\end{array}$$

$t=2,3$ になります。$t=2$ から $x+\frac{1}{x}=2$、両辺に $x$ をかけて $x^2-2x+1=0$、$x=1$。

$t=3$ からは $x^2-3x+1=0$ で $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ です。

補足：$x^4+4$ を分ける

$x^4+4=0$ は $t^2+4=0$ となり、$t$ の段階で実数解がありません。実数解は $0$ 個です。

ただし $x^4+4$ という式そのものは、実数の範囲で 2 つに分かれます。$4x^2$ を足して引く。

$$\begin{array}{rl}{x}^4+4& =x^4+4x^2+4-4x^2\\ & =(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2\\ & =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)\end{array}$$

どちらのかっこも判別式が $4-8=-4$ で負です。実数解がないことが、こちらからも読めます。

例：$t$ が無理数になる

$x^4-4x^2+1=0$ では、$t^2-4t+1=0$ から $t=2\pm \sqrt{3}$ です。

$\sqrt{3}\approx 1.73$ なので、$2-\sqrt{3}$ も正。$t$ が 2 つとも正だから、$x$ は 4 個あります。

$$x=\pm \sqrt{2+\sqrt{3}},x=\pm \sqrt{2-\sqrt{3}}$$

二重根号がほどけます。$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$ と分母を $2$ にそろえる。

分子は和が $4$、積が $3$ の $3$ と $1$ から $\sqrt{3}+1$ です。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2+\sqrt{3}}& =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

同じように $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。4 つの解が根号だけで書けました。

例：解が 4 個になる係数を決める

$x^4+a{x}^2+4=0$ が実数解を 4 個もつような $a$ をさがします。

$t^2+at+4=0$ が、異なる正の解を 2 つもてばよい。3 つの条件がそろいます。

$a^2>16$ から $a<-4$ または $a>4$、$-a>0$ から $a<0$。両方を満たすのは $a<-4$ です。

$a=-5$ で確かめます。$t^2-5t+4=0$ の解は $1$ と $4$ で、どちらも正。$x=\pm 1,\pm 2$ の 4 個になります。

よくある誤り

$t$ の答えを $x$ の答えとして書いてしまう形が、最も多く見られます。

4 番目は置き換えた式で決まります。$x^2-2x$ は $-1$ まで下がるので、負の $t$ も使えます。

$t$ を求めたところで手を止めない。$t$ の解を $x^2=t$ に戻し、負のものを落として初めて答えになります。