4 次式でも置き換えれば二次方程式になる（複二次式の解き方）

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ には $x$ の 4 乗と 2 乗しかありません。 $x^{4} = (x^{2})^{2}$ だから、 $t = x^{2}$ と置くと二次方程式に変わります。

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

$(t - 1) (t - 4) = 0$ から $t = 1, 4$ です。 $t$ で止めずに $x$ へ戻します。

$x^{2} = 1$ から $x = \pm 1$ 、 $x^{2} = 4$ から $x = \pm 2$ 。答えは 4 つ。

$x = - 2, - 1, 1, 2$

$t$ の解は 2 つ、 $x$ の解は 4 つです。正の $t$ 1 つにつき $x$ が 2 つ対応しています。

置き換えると範囲もついてくる

$t = x^{2}$ には $t \geq 0$ という制限があります。この制限は、 $t$ の方程式を解いたあとに効きます。

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ を見ます。 $t^{2} + 3 t - 4 = 0$ から $(t + 4) (t - 1) = 0$ 、 $t = - 4, 1$ 。

$t = - 4$ は $x^{2} = - 4$ という意味です。2 乗して負になる実数はないため、こちらから $x$ は現れません。

$t = 1$ だけが残り、 $x = \pm 1$ の 2 つが答えになります。

t = x2 と置く

t の二次方程式を解く

t が 0 以上かどうかを見る

x2 = t を解いて x に戻す

$t$ の符号で $x$ の個数が決まる

正の $t$ からは $x$ が 2 個、 $t = 0$ からは $x = 0$ の 1 個、負の $t$ からは 1 個も現れません。

$t$ の解	$x$ の個数	式の例
正が 2 つ	4 個	$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$
正が 1 つと負が 1 つ	2 個	$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$
正の重解	2 個	$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0$
正が 1 つと 0	3 個	$x^{4} - 4 x^{2} = 0$
負だけ	0 個	$x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$ は $t (t - 4) = 0$ で $t = 0, 4$ です。 $x = 0, \pm 2$ の 3 個になります。

$t$ の方程式が実数解をもたない場合も $0$ 個です。 $x^{4} + x^{2} + 1 = 0$ の $t$ 判別式は $1 - 4 = - 3$ 。

例： $t$ が重解になる

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0$ は $(t - 1)^{2} = 0$ となり、 $t = 1$ の 1 つだけ。

$x^{2} = 1$ から $x = \pm 1$ で、 $x$ の解は 2 個です。もとの式は $(x^{2} - 1)^{2} = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}$ なので、 $x = 1$ も $x = - 1$ も 2 重の解になっています。

$t$ が重解だからといって、 $x$ が 1 個になるわけではありません。 $t$ の重解が正なら $x$ は 2 個。

例：因数分解でも解ける

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$ は、置き換えずに直接 2 つのかっこへ分けられます。

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$

$t$ の因数分解 $(t - 1) (t - 4)$ が、そのまま $x^{2}$ の因数分解になっている。置き換えると、この分け方が見つけやすくなります。

例：同じ式が 2 か所に現れるとき

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ では、 $x^{2} - 2 x$ が 2 か所に現れます。ここを $t$ と置く。

$t^{2} - 2 t - 3 = 0$

$(t - 3) (t + 1) = 0$ から $t = 3, - 1$ です。今度の $t$ には $0$ 以上という制限がありません。

$t = 3$ なら $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ で $x = 3, - 1$ 。 $t = - 1$ なら $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ で $x = 1$ の重解。

答えは $x = - 1, 1, 3$ の 3 個になります。

置き換えた文字の動ける範囲は、置き換えた式が何であるかで決まります。

$t = x^{2}$ なら $t \geq 0$ 、 $t = x^{2} - 2 x$ なら $t = (x - 1)^{2} - 1 \geq - 1$ 。

$t = x^{2} - 2 x$ の範囲は $t \geq - 1$ です。 $t = - 1$ は端にあたるため、 $x$ が 1 個しか対応しません。

例：係数が左右対称のとき

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ の係数は $1, - 5, 8, - 5, 1$ と、前から読んでも後ろから読んでも同じ形です。

$x = 0$ は解ではないため、両辺を $x^{2}$ で割れます。

$x^{2} - 5 x + 8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ と $x + \frac{1}{x}$ にまとめる。

$(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 5 (x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$

$t = x + \frac{1}{x}$ と置くと、 $t^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ だから $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ です。

$t^{2} - 2 - 5 t + 8 t^{2} - 5 t + 6 = 0 = 0$

$t = 2, 3$ になります。 $t = 2$ から $x + \frac{1}{x} = 2$ 、両辺に $x$ をかけて $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 、 $x = 1$ 。

$t = 3$ からは $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ で $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ です。

t = x^{2}

と置く

4 乗と 2 乗しかない式に使う。 $t \geq 0$ の制限がつく

t = x + \frac{1}{x}

と置く

係数が左右対称な式に使う。 $x^{2}$ で割ってから当てる

補足： $x^{4} + 4$ を分ける

$x^{4} + 4 = 0$ は $t^{2} + 4 = 0$ となり、 $t$ の段階で実数解がありません。実数解は $0$ 個です。

ただし $x^{4} + 4$ という式そのものは、実数の範囲で 2 つに分かれます。 $4 x^{2}$ を足して引く。

$x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$

どちらのかっこも判別式が $4 - 8 = - 4$ で負です。実数解がないことが、こちらからも読めます。

例： $t$ が無理数になる

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 = 0$ では、 $t^{2} - 4 t + 1 = 0$ から $t = 2 \pm 3$ です。

$3 \approx 1.73$ なので、 $2 - 3$ も正。 $t$ が 2 つとも正だから、 $x$ は 4 個あります。

$x = \pm 2 + 3, x = \pm 2 - 3$

二重根号がほどけます。 $2 + 3 = \frac{4 + 2 3}{2}$ と分母を $2$ にそろえる。

分子は和が $4$ 、積が $3$ の $3$ と $1$ から $3 + 1$ です。

$2 + 3 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{6 + 2}{2}$

同じように $2 - 3 = \frac{6 - 2}{2}$ 。4 つの解が根号だけで書けました。

例：解が 4 個になる係数を決める

$x^{4} + a x^{2} + 4 = 0$ が実数解を 4 個もつような $a$ をさがします。

$t^{2} + a t + 4 = 0$ が、異なる正の解を 2 つもてばよい。3 つの条件がそろいます。

判別式が正。

a^{2} - 16 > 0

。

2 解の和が正。和は

- a

なので

- a > 0

。

2 解の積が正。積は

4

で、はじめから満たされている。

$a^{2} > 16$ から $a < - 4$ または $a > 4$ 、 $- a > 0$ から $a < 0$ 。両方を満たすのは $a < - 4$ です。

$a = - 5$ で確かめます。 $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ の解は $1$ と $4$ で、どちらも正。 $x = \pm 1, \pm 2$ の 4 個になります。

よくある誤り

$t$ の答えを $x$ の答えとして書いてしまう形が、最も多く見られます。

t = 1, 4

で止めて、

x = 1, 4

と答える。

t

が負のとき、

x = \pm - 4

を実数解として数える。

t

が重解なら

x

も 1 個だと考える。

t = x^{2} - 2 x

のとき、

t \geq 0

の制限をそのまま持ちこむ。

4 番目は置き換えた式で決まります。 $x^{2} - 2 x$ は $- 1$ まで下がるので、負の $t$ も使えます。

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ の実数解は何個ですか。

4 個
2 個
3 個

__RESULT__

$t^{2} - 13 t + 36 = 0$ から $(t - 4) (t - 9) = 0$ で $t = 4, 9$ です。どちらも正なので、 $x = \pm 2, \pm 3$ の 4 個になります。

$x^{4} + 2 x^{2} - 8 = 0$ の実数解はどれですか。

$x = \pm 2, \pm 2$
$x = \pm 2$
$x = \pm 2$

__RESULT__

$t^{2} + 2 t - 8 = 0$ から $(t + 4) (t - 2) = 0$ で $t = - 4, 2$ です。 $t = - 4$ は $x^{2} = - 4$ にあたり、実数の $x$ が対応しません。残るのは $x = \pm 2$ 。

$t$ を求めたところで手を止めない。 $t$ の解を $x^{2} = t$ に戻し、負のものを落として初めて答えになります。

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ は $t = x^2$ と置けば $t^2 - 5t + 4 = 0$。$t$ を求めたところで止めず、$x^2 = t$ に戻します。正の $t$ からは $x$ が 2 個、$t = 0$ からは 1 個、負の $t$ からは 1 個も対応しません。$x^2 - 2x$ のように同じ式が 2 か所に現れる形、係数が左右対称なら $x + \dfrac{1}{x}$ と置く手、$x^4 + 4$ が実数の範囲で 2 つに分かれることまで。