絶対値のついた二次方程式……はずしたあとの答えが本当に解か

$x^2-4|x|+3=0$ の $x^2$ は $|x{|}^2$ と同じ値です。$2$ 乗すれば符号が消えるため、絶対値をつけても変わりません。

$t=|x|$ と置くと、式全体が $t$ の二次方程式になります。

$$t^2-4t+3=0$$

$(t-1)(t-3)=0$ から $t=1,3$。ここから $|x|=1$ と $|x|=3$ を解きます。

$|x|=1$ は $x=\pm 1$、$|x|=3$ は $x=\pm 3$。解は 4 個です。

グラフは $y$ 軸で折り返した形になります。$x$ を $-x$ に替えても値が変わらないため、交点も左右対称。

置き換えた $t$ は $0$ 以上

$t=|x|$ には $t\ge 0$ という制限があります。負の $t$ が現れたら、そこからは $x$ が 1 個も対応しません。

$x^2-|x|-2=0$ を見ます。$t^2-t-2=0$ から $(t-2)(t+1)=0$、$t=2,-1$。

$t=-1$ は $|x|=-1$ という意味です。絶対値は負にならないため、これは落とします。

残る $t=2$ から $x=\pm 2$ の 2 個。$t$ の解は 2 つでも、$x$ の解は 2 個です。

解の個数は 0 個から 4 個まで

正の $t$ 1 つにつき $x$ が 2 個、$t=0$ につき $x=0$ の 1 個です。

$x^2+2|x|=0$ は $t(t+2)=0$ で $t=0,-2$ です。使えるのは $t=0$ だけなので、$x=0$ の 1 個。

$x^2-2|x|+3=0$ の $t$ 判別式は $4-12=-8$ です。$t$ の段階で実数解がありません。

放物線と直線なら交点は $2$ 個までですが、折り返した形では $4$ 個まであります。谷が $2$ つあるためです。

$||$ の中に $x^2$ があるとき

$|x^2-4|=3$ では、絶対値の中が $3$ でも $-3$ でもかまいません。$|A|=3$ は $A=\pm 3$ という意味です。

$x^2-4=3$ から $x^2=7$、$x=\pm \sqrt{7}$。$x^2-4=-3$ から $x^2=1$、$x=\pm 1$。

解は 4 個。右辺が正の数だから、どちらの場合も生き残ります。

右辺が負なら解はありません。$|x^2-4|=-3$ は左辺が $0$ 以上なので、成り立つ $x$ がない。

場合分けで解く

置き換えが使えるのは、絶対値の中と外が同じ文字でそろっているときです。$|x-1|$ のようにずれていると、場合分けに切り替えます。

$x^2-|x-1|-1=0$ を解きます。$x-1$ の符号で 2 つに分ける。

$x\ge 1$ のとき $|x-1|=x-1$ です。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-(x-1)-1& =0\\ x^2-x& =0\end{array}$$

$x(x-1)=0$ から $x=0,1$。ただし今は $x\ge 1$ の場合を見ているため、$x=0$ は使えません。

$x<1$ のとき $|x-1|=-(x-1)=1-x$ です。

$$\begin{array}{rl}{x}^2+(x-1)-1& =0\\ x^2+x-2& =0\end{array}$$

$(x+2)(x-1)=0$ から $x=-2,1$。$x<1$ なので $x=1$ は落ちます。

答えは $x=1$ と $x=-2$ の 2 個です。

範囲に合うかを必ず見る

場合分けで求めた値は、その場合の範囲に入っているものだけが解になります。上の例では 4 つの値のうち 2 つが落ちました。

範囲を確かめずに全部並べると、成り立たない値まで答えに混ざります。$x=0$ をもとの式に入れると $0-1-1=-2$ で、$0$ になりません。

例：右辺にも $x$ がある

$|x^2-2x|=x$ を解きます。左辺は $0$ 以上なので、まず $x\ge 0$ が必要です。

$x^2-2x=x(x-2)$ の符号で分けます。$x\le 0$ または $x\ge 2$ のとき、中身は $0$ 以上。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-2x& =x\\ x^2-3x& =0\end{array}$$

$x=0,3$ です。$x=0$ は $x\le 0$ に、$x=3$ は $x\ge 2$ に入っているため、どちらも残ります。

$0<x<2$ のとき、中身は負なので $|x^2-2x|=-(x^2-2x)$。

$$\begin{array}{rl}-x^2+2x& =x\\ x^2-x& =0\end{array}$$

$x=0,1$ のうち、$0<x<2$ に入るのは $x=1$ だけ。答えは $x=0,1,3$ の 3 個です。

よくある誤り

$t$ が負のときに落とし忘れる形と、場合分けの範囲を見ない形の 2 つが多い。

最後の 1 つは値が変わります。$x=0$ で比べると、$|0-1|=1$ に対して $|0|-1=-1$。

絶対値をはずすところまでは、置き換えでも場合分けでも進みます。はずしたあとに、$t\ge 0$ か、場合分けの範囲かを見る。この一手を落とすと、答えの個数がずれます。