分数と小数の係数は何倍すれば消えるか？二次方程式のそろえ方

$\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}=\frac{1}{6}$ の分母は $3$、$2$、$6$ です。最小公倍数の $6$ を両辺にかけると、分母が 3 つとも消えます。

$$\begin{array}{rl}6\times \left(\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}\right)& =6\times \frac{1}{6}\\ 2x^2-3x& =1\end{array}$$

移項すると $2x^2-3x-1=0$ で、係数はすべて整数になりました。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9+8}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}$$

かける数は分母の最小公倍数

両辺に同じ数をかけても、等式は等式のままです。分母を消すためにかける数は、分母すべての最小公倍数。

$\frac{x^2}{2}+\frac{2x}{3}-\frac{5}{6}=0$ なら、$2$、$3$、$6$ の最小公倍数で $6$ です。

$$3x^2+4x-5=0$$

$x^2$ の項は $\frac{6}{2}=3$ 倍、$x$ の項は $\frac{6}{3}\times 2=4$ 倍。定数項は $\frac{6}{6}\times 5=5$ になります。

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+60}}{6}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{3}$$

最小公倍数より大きい数をかけても、解は変わりません。ただ係数が大きくなって、計算が重くなるだけ。

解は動かない

両辺を何倍しても、方程式の解は 1 つも増えず、1 つも減りません。$0$ になる $x$ は、$0$ を何倍しても $0$ のままだからです。

グラフでいうと、放物線が縦に伸び縮みするだけ。$x$ 軸と交わる場所は動きません。

倍率が変わると放物線の開き方は変わります。$x$ 軸と交わる 2 点だけが、その場に残る。

小数には 10 の累乗をかける

小数点以下の桁数が最も多い係数に合わせます。1 桁なら $10$ 倍、2 桁なら $100$ 倍。

$0.2x^2-0.7x+0.3=0$ はどれも 1 桁なので $10$ 倍です。

$$2x^2-7x+3=0$$

左辺は $(2x-1)(x-3)$ と因数分解できます。$x=\frac{1}{2},3$。

$x=\frac{1}{2}$ をもとの式に入れると $0.2\times 0.25-0.7\times 0.5+0.3=0.05-0.35+0.3=0$ になりました。

例：小数点以下が 2 桁

$0.01x^2+0.1x-0.24=0$ では、$0.01$ が 2 桁です。全体を $100$ 倍します。

$$x^2+10x-24=0$$

$0.1$ は $10$ に、$0.24$ は $24$ に変わる。桁数の少ない係数にも、同じ $100$ をかけます。

$(x+12)(x-2)=0$ から $x=-12,2$ です。

例：分数と小数が混ざる

$\frac{x^2}{4}-0.5x-\frac{3}{2}=0$ のような形では、まず小数を分数に直します。

$0.5=\frac{1}{2}$ なので、分母は $4$、$2$、$2$ です。最小公倍数の $4$ をかける。

$$x^2-2x-6=0$$

$x=1\pm \sqrt{7}$ になります。小数のまま $10$ 倍しても分数が残るため、そろえる先を分数に決めてからかけます。

例：分母に $x$ がある

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-3}=1$ を解きます。分母が $0$ になる $x=0$ と $x=3$ は、はじめから除きます。

両辺に $x(x-3)$ をかける。

$$\begin{array}{rl}(x-3)+x& =x(x-3)\\ 2x-3& =x^2-3x\end{array}$$

移項して $x^2-5x+3=0$、解の公式から $x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ です。

$\sqrt{13}\approx 3.6$ なので、2 つの値はおよそ $4.3$ と $0.7$。どちらも $0$ でも $3$ でもないため、両方が答えになります。

例：右辺が $0$ でないとき

$\frac{x^2}{5}=\frac{x}{2}+\frac{3}{10}$ のように右辺に項が並ぶ形でも、やることは変わりません。

分母 $5$、$2$、$10$ の最小公倍数は $10$ です。左辺だけでなく、右辺の 2 項にもかけます。

$$\begin{array}{rl}2x^2& =5x+3\\ 2x^2-5x-3& =0\end{array}$$

$(2x+1)(x-3)=0$ から $x=-\frac{1}{2},3$。

例：分子が 2 項ある

$\frac{x+1}{2}-\frac{x^2}{3}=\frac{1}{6}$ の分母は $2$、$3$、$6$ です。$6$ をかけます。

分子が 2 項ある項では、かけたあとも 2 項がひとまとまりです。かっこをつけて $3(x+1)$ と書く。

$$\begin{array}{rl}3(x+1)-2x^2& =1\\ 3x+3-2x^2& =1\end{array}$$

移項して $2x^2-3x-2=0$、$(2x+1)(x-2)=0$ から $x=-\frac{1}{2},2$ です。

かっこを落として $3x+1$ と書くと、定数項が $2$ ずれます。分子が 1 項のときには起きない誤りです。

例：比の形で与えられる

$x:3=2:(x-1)$ のような比も、分数と同じ扱いになります。内側どうしの積と、外側どうしの積が等しい。

$$x(x-1)=6$$

$x^2-x-6=0$ から $(x-3)(x+2)=0$、$x=3,-2$ です。

比の各項が $0$ だと比の形になりません。$x\ne 0$ と $x-1\ne 0$ を先に確かめておきます。

通分とは別の操作

1 つの式の中で分母をそろえるのが通分、方程式の両辺に同じ数をかけるのが分母を消す操作です。

$$\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}=\frac{2x^2-3x}{6}$$

通分では $6$ が分母に残ります。等式の両辺にかけたときだけ、分母そのものが消える。

$=0$ のない式に「$6$ をかけて分母を消した」と書くと、値そのものが $6$ 倍に変わります。式の変形と方程式の変形は別のものです。

よくある誤り

かけ忘れが最も多い箇所です。項が 1 つでも残されると、別の方程式になります。

3 番目を落とすと、除くべき値まで答えに並びます。4 番目は $0.05x^2-0.2x+0.15=0$ のような式で起きる。

$100$ 倍すると $5x^2-20x+15=0$ になり、さらに $5$ で割れば $x^2-4x+3=0$。$x=1,3$ です。

分母を消す操作も、小数点をずらす操作も、両辺に同じ数をかけているだけです。かける数を決めたら、項をひとつも飛ばさずにかけます。