二次方程式の重解はいつ現れるか？判別式が 0 になる場合を調べる

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ の左辺は $(x - 3)^{2}$ です。積が $0$ になるのは $x - 3 = 0$ のときだけなので、解は $x = 3$ の 1 つ。

判別式を計算すると $36 - 36 = 0$ になります。この $x = 3$ を重解と呼びます。

解の公式で書くと $x = \frac{6 \pm 0}{2}$ です。 $\pm$ の後ろが $0$ なので、 $+$ をとっても $-$ をとっても同じ値になる。

2 つの解が重なっている

解の公式は $x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{D}{2 a}$ と読めます。 $\pm$ の部分が、2 つの解が離れる幅。

$D$ が小さくなるほど幅は縮み、 $D = 0$ で $0$ になります。2 つあった解が、 $- \frac{b}{2 a}$ の 1 点に集まる。

$x = - \frac{b}{2 a}$

重解の値は、判別式を計算しなくてもこの式で求められます。 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ なら $- \frac{- 6}{2} = 3$ 。

$c$ を大きくしていくと、 $x$ 軸と交わる 2 点が近づきます。 $c = 9$ で重なり、それより大きいと交わらなくなる。

グラフの言葉では「接する」といいます。放物線が $x$ 軸に触れて、越えない状態。

D > 0

放物線が $x$ 軸を横切る。交点は 2 個で、その間だけ $y$ が負になる

D = 0

放物線が $x$ 軸に触れるだけ。交点は 1 個で、 $y$ は $0$ 以外で正

例：重解になる $k$ を求める

$x^{2} + k x + 9 = 0$ が重解をもつ $k$ をさがします。 $D = k^{2} - 36 = 0$ から $k = \pm 6$ 。

$k = 6$ のとき $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ で、重解は $x = - 3$ です。

$k = - 6$ のとき $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ で、重解は $x = 3$ 。

$k$ を求めただけでは答えになりません。「重解をもつときの解も求めよ」と続く問題が多いため、 $- \frac{k}{2}$ まで書きます。

D = 0 とおいて k の方程式を解く

k の値をそれぞれ求める

各 k に対する重解 -b/2a を書く

例：判別式が偶数の形

$x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} + 3 = 0$ を見ます。 $x$ の係数が $- 2 (k + 1)$ と偶数なので、 $\frac{D}{4}$ を使います。

$\frac{D}{4} = (k + 1)^{2} - (k^{2} + 3) = k^{2} + 2 k + 1 - k^{2} - 3 = 2 k - 2$

$2 k - 2 = 0$ から $k = 1$ です。 $k$ の 2 乗どうしが消えて、一次方程式になりました。

$k = 1$ を入れると $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ 。重解は $x = k + 1 = 2$ です。

例： $x^{2}$ の係数にも文字がある

$k x^{2} + 4 x + k = 0$ では、 $k = 0$ の場合を先に分けます。

$k = 0$ なら $4 x = 0$ で $x = 0$ の 1 個。ただし一次方程式なので、これは重解ではありません。

$k \neq = 0$ のとき $D = 16 - 4 k^{2} = 0$ から $k^{2} = 4$ 、 $k = \pm 2$ です。

$k = 2$ なら $2 x^{2} + 4 x + 2 = 2 (x + 1)^{2}$ で重解 $x = - 1$ 。 $k = - 2$ なら $- 2 (x - 1)^{2}$ で重解 $x = 1$ 。

「解が 1 個」と「重解をもつ」は、同じ意味ではありません。

一次方程式の解も 1 個。重解は二次方程式で $D = 0$ になったときの言い方。

例：放物線と直線が接する

$y = x^{2}$ と $y = 2 x + k$ が接する $k$ を求めます。接するとは、共有点が 1 個ということ。

2 式から $y$ を消します。

$x^{2} x^{2} - 2 x - k = 2 x + k = 0$

$\frac{D}{4} = 1 + k = 0$ から $k = - 1$ です。接点の $x$ 座標は $- \frac{b}{2 a} = 1$ 、 $y$ 座標は $1$ 。

直線を上下に動かすと、放物線から離れたり、触れたり、突き抜けたりします。触れる位置がただ 1 つ。

連立してできた二次方程式の判別式が、そのまま共有点の個数を決めています。

因数分解から見る

重解をもつ二次式は、 $a (x - α)^{2}$ の形に書けます。逆に、この形なら必ず重解です。

$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$

平方完成した形で、後ろの定数が $0$ になる条件が $b^{2} - 4 a c = 0$ 。つまり $D = 0$ です。

$4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ なら $D = 144 - 144 = 0$ で、重解は $x = \frac{3}{2}$ になります。

$x^{2} - 6 x + 9$	$(x - 3)^{2}$ 、重解 $x = 3$
$4 x^{2} - 12 x + 9$	$(2 x - 3)^{2}$ 、重解 $x = \frac{3}{2}$
$x^{2} + 8 x + 16$	$(x + 4)^{2}$ 、重解 $x = - 4$
$9 x^{2} - 6 x + 1$	$(3 x - 1)^{2}$ 、重解 $x = \frac{1}{3}$

$x^{2}$ の係数が $1$ でないとき、重解は $- \frac{b}{2 a}$ で $a$ が効きます。 $4 x^{2} - 12 x + 9$ なら $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ 。

よくある誤り

$k$ を求めて満足し、重解そのものを書かずに終わる形が多い。問題文の最後を読み直します。

D = 0

とすべきところで

D \geq 0

とおく。

x^{2}

の係数に文字があるのに、

0

になる場合を分けない。

重解を「解が 2 つとも同じだから 2 個」と数える。

D = 0

から求めた

k

を答えて、重解を書かない。

(2 x - 3)^{2}

の重解を

3

と書く。

\frac{3}{2}

が正しい。

3 番目は数え方の問題です。重解のときの実数解は 1 個と数えます。

$x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0$ が重解をもつ $k$ はどれですか。

$k = 3, - 2$
$k = 3$ だけ
$k = 6, - 1$

__RESULT__

$\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6$ です。 $(k - 3) (k + 2) = 0$ から $k = 3, - 2$ になります。

$9 x^{2} + 12 x + 4 = 0$ の重解はどれですか。

$x = - \frac{3}{2}$
$x = - \frac{2}{3}$
$x = - 2$

__RESULT__

$- \frac{b}{2 a} = - \frac{12}{18} = - \frac{2}{3}$ です。左辺は $(3 x + 2)^{2}$ と書けるので、 $3 x + 2 = 0$ からも同じ値になります。

判別式が $0$ になるのは、2 つの解が 1 点に重なるときです。 $k$ を求めたら、 $- \frac{b}{2 a}$ に戻して解の値まで書きます。

解の公式の $\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$ が、2 つの解の離れる幅にあたります。$D$ が縮んで $0$ になると幅が消え、解は $-\dfrac{b}{2a}$ の 1 点に重なる。だから重解の値は判別式を計算しなくても書けます。$k$ を含む式で $D = 0$ とおく手順、$x^2$ の係数に文字があるときの分け方、放物線と直線が接する条件、$(2x-3)^2$ の重解を $3$ と書く誤りまで。