二次方程式の解の公式は平方完成を文字のまま進めれば導ける

$2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ を、公式を使わずに解いてみます。まず両辺を $2$ で割る。

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} = 0$

$x$ の係数 $\frac{5}{2}$ の半分は $\frac{5}{4}$ です。その 2 乗 $\frac{25}{16}$ を両辺に足すと、左辺が 2 乗の形にまとまります。

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16} (x + \frac{5}{4})^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{25}{16} = \frac{17}{16}$

平方根をとると $x + \frac{5}{4} = \pm \frac{17}{4}$ 、移項して $x = \frac{- 5 \pm 17}{4}$ 。

数のかわりに文字で同じ手順を通したものが、解の公式です。

文字のまま進める

$a x^{2} + b x + c = 0$ とします。 $a \neq = 0$ でなければ二次方程式になりません。

両辺を $a$ で割ります。

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

定数項を右へ移す。

$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

$x$ の係数 $\frac{b}{a}$ の半分は $\frac{b}{2 a}$ です。その 2 乗を両辺に足します。

$x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} (x + \frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a}$

右辺を $4 a^{2}$ で通分する。 $- \frac{c}{a} = - \frac{4 a c}{4 a ^{2}}$ だから、分子は $b^{2} - 4 a c$ になります。

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$

ここまでの 4 行は、冒頭の数値の計算と 1 行ずつ対応しています。

両辺を a で割る

定数項を右へ移す

x の係数の半分の 2 乗を両辺に足す

平方根をとって移項する

欠けている正方形を足す

$x$ の係数の半分の 2 乗を足す、という手順は面積で読めます。 $x^{2}$ の正方形の右と下に、幅 $\frac{b}{2 a}$ の帯を貼りつける。

帯 2 本の面積を合わせると $\frac{b}{a} x$ で、もとの $x$ の項に一致します。右下だけが欠けているので、そこを埋めれば正方形。

埋めた面積が $(\frac{b}{2 a})^{2}$ です。左辺に足したぶんは右辺にも足します。

平方根をとるときの分母

右辺が $0$ 以上なら平方根がとれます。

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$

分母の $4 a^{2}$ は $2∣ a ∣$ です。 $a$ が負のときは $∣ a ∣ = - a$ なので、そのまま $2 a$ とは書けません。

ただし右辺には $\pm$ がついている。 $\frac{1}{2∣ a ∣}$ と $\frac{1}{2 a}$ は符号が違うだけだから、 $\pm$ が両方を拾って、値の組としては同じ 2 つになります。

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

$\frac{b}{2 a}$ を右へ移せば、解の公式が出そろいます。

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

根号の中身 $b^{2} - 4 a c$ を判別式といい、 $D$ と書きます。ここが負だと平方根をとる段階で止まる。

$D > 0$	異なる 2 つの実数解
$D = 0$	重解が 1 つ
$D < 0$	実数解なし

例： $2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

冒頭と同じ式を、今度は公式に当てます。 $a = 2$ 、 $b = 5$ 、 $c = 1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 \pm 17}{4}$

平方完成でたどり着いた答えと一致しました。公式は手順を先にすませたものなので、当然そうなります。

例： $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$

$a = 9$ 、 $b = - 12$ 、 $c = 4$ です。 $- b$ は $12$ になる。

$x = \frac{12 \pm 144 - 144}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

根号の中身が $0$ なので、 $\pm$ が効かず解は 1 つ。 $9 x^{2} - 12 x + 4 = (3 x - 2)^{2}$ と因数分解しても同じ値になります。

例： $x^{2} + x + 1 = 0$

$D = 1 - 4 = - 3$ です。負の数の平方根は実数の範囲にありません。

実数解なし、と答えます。グラフでいえば、放物線が $x$ 軸に届いていない状態。

例： $b$ が偶数のとき

$b = 2 b^{'}$ と書けるときは、公式の $2$ が約分できます。

$x = \frac{- 2 b ^{'} \pm 4 b ^{'2} - 4 a c}{2 a} = \frac{- 2 b ^{'} \pm 2 b ^{'2} - a c}{2 a} = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}$

$3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ なら $b^{'} = - 2$ です。 $x = \frac{2 \pm 4 + 6}{3} = \frac{2 \pm 10}{3}$ 。

もとの公式でも $\frac{4 \pm 40}{6} = \frac{4 \pm 2 10}{6}$ となり、約分すれば同じ形。根号の中が $4$ の倍数になるぶん、こちらは約分の手間が減ります。

軸から等しく離れた 2 点

解の公式は $x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{D}{2 a}$ と 2 つに切って読めます。前半は放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ の軸そのもの。

$y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$

平方完成した形を見ると、頂点の $x$ 座標が $- \frac{b}{2 a}$ だと分かります。 $\pm$ の部分が、軸から解までの距離。

$x^{2} - 6 x + 7 = 0$ を公式で解くと $x = 3 \pm 2$ です。軸の $3$ を中心に、 $2$ ずつ左右へ離れている。

$D$ が $0$ になると、この幅が消えます。2 つの解が軸の上で重なった状態が重解です。

放物線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標が、二次方程式の実数解にあたります。

交点が 2 個なら異なる 2 解、1 個なら重解、0 個なら実数解なし。

よくある誤り

符号のとり違えが多い箇所です。 $b$ が負のとき、公式の $- b$ は正の数になります。

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ なら $- b = 5$ で、 $\frac{5 \pm 1}{2}$ から $x = 3, 2$ 。ここで $- b$ を $- 5$ のままにすると、符号が反対の答えになる。

分母も落としやすい。 $2 a$ で割るのは $- b$ と根号の両方であって、根号だけではありません。

- b

の符号を、

b

の符号のまま書いてしまう。

分母の

2 a

を

2

と書いてしまう。

4 a c

の

c

が負のとき、

- 4 a c

を負のままにしてしまう。

約分できる形で止めてしまう。

3 番目は $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ のような式で起きます。 $- 4 a c = - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = + 16$ となり、 $D = 9 + 16 = 25$ 。

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$ の解はどれですか。

$x = 2 \pm 3$
$x = 2 \pm 5$
$x = - 2 \pm 5$

__RESULT__

$b = - 4$ は偶数なので $b^{'} = - 2$ です。 $x = \frac{2 \pm 4 + 1}{1} = 2 \pm 5$ になります。 $- 2 \pm 5$ は $- b$ の符号をとり違えた形。

解の公式での中に入るのはどれですか。

$b^{2} + 4 a c$
$b^{2} - 4 a c$
$b^{2} - 2 a c$

__RESULT__

平方完成で右辺を $4 a^{2}$ に通分したとき、分子が $b^{2} - 4 a c$ になりました。 $- \frac{c}{a}$ を $- \frac{4 a c}{4 a ^{2}}$ と直したところから、 $4$ と符号が決まっています。

平方完成を数でやるか文字でやるかの違いしかありません。公式を忘れたら、 $x$ の係数の半分の 2 乗を足すところから書き直せます。

$2x^2 + 5x + 1 = 0$ を平方完成で解き、同じ手順を $ax^2 + bx + c = 0$ でなぞります。$x$ の係数の半分の 2 乗を足す操作は、$x^2$ の正方形に帯を貼って欠けた角を埋める形。平方根をとると分母に $\sqrt{4a^2} = 2|a|$ が出ますが、$\pm$ が符号を両方拾うため $2a$ と書けます。$b$ が偶数のときに約分できる形、軸から等しく離れた 2 点として解が並ぶこと、$-b$ の符号のとり違えまで。