2 つの二次方程式の「共通解」は引き算で 1 次式に落ちる

$x^{2} + a x + 2 = 0$ と $x^{2} + 2 x + a = 0$ が共通の解をもつ $a$ をさがします。共通解を $α$ と置くと、2 つの式が同時に成り立ちます。

$α^{2} + a α + 2 α^{2} + 2 α + a = 0 = 0$

$α^{2}$ の係数がそろっているので、引くと消えます。

$(a - 2) α + (2 - a) (a - 2) (α - 1) = 0 = 0$

$a = 2$ または $α = 1$ です。2 次だった式が、引き算で 1 次に落ちました。

引き算で消えるのは $x^{2}$ の項

共通解は両方の式を満たします。だから 2 式の差も満たす。差をとると $x^{2}$ が消え、 $x$ の一次式になります。

一次式なら $x$ が 1 つに決まります。候補が絞れたところで、もとの式に戻して確かめる。

共通解を α と置く

2 式に代入して差をとる

一次式から α または係数を絞る

もとの式へ戻して確かめる

引き算で得られる条件は、共通解があるなら成り立つ、という向きだけです。逆向きは自分で確かめます。

場合を 1 つずつ調べる

さきほどの $(a - 2) (α - 1) = 0$ を、2 つに分けます。

$a = 2$ のとき、2 つの式はどちらも $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ になります。判別式は $4 - 8 = - 4$ で負。

実数解が 1 つもないため、共通解もありません。 $a = 2$ は落ちます。

$α = 1$ のとき、1 本目に代入して $1 + a + 2 = 0$ から $a = - 3$ です。

2 本目でも確かめます。 $1 + 2 - 3 = 0$ となり、こちらも成り立ちます。

$a = - 3$ のとき、式は $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ と $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ です。

$(x - 1) (x - 2) = 0, (x + 3) (x - 1) = 0$

解は $1, 2$ と $- 3, 1$ 。共通しているのは $x = 1$ の 1 つだけです。

グラフでは、2 つの放物線が同じ場所で $x$ 軸を切っている状態です。 $x = 1$ でだけ重なっています。

例：片方が具体的に解けるとき

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ と $2 x^{2} + a x - 4 = 0$ が共通解をもつ $a$ を求めます。1 本目には文字がありません。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ の解は $x = 1, 2$ です。共通解があるなら、 $1$ か $2$ のどちらか。

$x = 1$ を 2 本目に入れると $2 + a - 4 = 0$ で $a = 2$ 。

$x = 2$ を入れると $8 + 2 a - 4 = 0$ で $a = - 2$ 。

$a = 2$ のとき $2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 、両辺を $2$ で割って $(x + 2) (x - 1) = 0$ 。解は $1$ と $- 2$ で、共通解は $x = 1$ 。

$a = - 2$ のとき $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ から $(x - 2) (x + 1) = 0$ 。解は $2$ と $- 1$ で、共通解は $x = 2$ です。

文字を含む式が 1 本

文字のない式を解いて、その解を候補にする。代入するだけで $a$ が決まる

両方に文字がある

引き算で $x^{2}$ を消し、一次式から候補を絞る。場合分けが 2 つに分かれる

$x^{2}$ の係数がそろっていないとき

$2 x^{2} + 3 x + a = 0$ と $x^{2} + a x + 3 = 0$ では、そのまま引いても $x^{2}$ が残ります。2 本目を $2$ 倍してから引く。

$2 x^{2} + 2 a x + 6 (3 - 2 a) x + (a - 6) = 0 = 0$

$3 - 2 a \neq = 0$ なら $x = \frac{6 - a}{3 - 2 a}$ です。 $a = \frac{3}{2}$ のときは $x$ の項も消え、 $a - 6 = - \frac{9}{2}$ が残って成り立ちません。

一次式が $0 = 0$ になる場合と、 $0 = (\text{$ 0 $でない数})$ になる場合を分けます。前者は $x$ が絞れず、後者は共通解なしと決まる。

例：2 つの解が両方とも共通

$x^{2} + a x + b = 0$ と $x^{2} + b x + a = 0$ が、2 つの解をともに共有するとします。

引くと $(a - b) x + (b - a) = 0$ 、つまり $(a - b) (x - 1) = 0$ です。

すべての解で成り立たなければならないため、 $x$ が 1 つに決まってしまう $a \neq = b$ の形では足りません。 $a = b$ が必要です。

$a = b$ なら 2 式はまったく同じ式になり、解も 2 つとも共通になります。

共通解が 1 つなら引き算の一次式が $x$ を1 つに決めます。

2 つとも共通なら、その一次式はどんな $x$ でも成り立つ形、つまり $0 = 0$ になる。

例：共通解をもたない

$x^{2} + x + 1 = 0$ と $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ を見ます。引くと $- x - 2 = 0$ で $x = - 2$ 。

$x = - 2$ を 1 本目に入れると $4 - 2 + 1 = 3$ で、 $0$ になりません。

引き算の式は満たしても、もとの式は満たしていない。共通解はありません。

そもそも 1 本目の判別式は $1 - 4 = - 3$ で、実数解が 1 つもない式でした。

$a$ を動かすと 2 本の放物線がずれていきます。 $x$ 軸を切る場所が一致するのは $a = - 3$ のときだけ。

戻して確かめるまでが 1 問

引き算で得た式は、共通解があるとしたら満たすはずの条件です。逆に、その条件を満たしても共通解があるとは限りません。

$x^{2} + x + 1 = 0$ と $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ が、まさにその形でした。 $x = - 2$ という候補が残っても、もとの式では成り立ちません。

引き算の式から候補を絞る。

候補をもとの 2 式に代入する。

両方で

0

になれば共通解。

片方でも

0

にならなければ落とす。

判別式が負の式が混ざっていないかも見る。

よくある誤り

引いたところで答えにしてしまう形が、最も多く見られます。

(a - 2) (α - 1) = 0

の片方だけを調べる。

候補を求めたあと、もとの式へ戻さない。

x^{2}

の係数がそろっていないのに、そのまま引く。

a

を求めて答えとし、共通解の値を書かない。

2 式が同じになる場合を、共通解 1 つと数える。

最後の 1 つでは、共通解が 2 つになります。 $a = b$ のとき 2 式はまったく同じなので、解も両方が共通です。

$x^{2} + 2 x + a = 0$ と $x^{2} + a x + 2 = 0$ が共通解をもつとき、 $a$ はいくつですか。

$a = - 3$
$a = 2$
$a = 3$

__RESULT__

引くと $(a - 2) (α - 1) = 0$ です。 $a = 2$ では 2 式が $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ になり、判別式が負で実数解がありません。 $α = 1$ から $a = - 3$ が残ります。

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ と $x^{2} + a x - 3 = 0$ の共通解が $x = 3$ のとき、 $a$ はいくつですか。

$a = 2$
$a = - 2$
$a = - 4$

__RESULT__

$x = 3$ を 2 本目に入れると $9 + 3 a - 3 = 0$ で $3 a = - 6$ 、 $a = - 2$ です。このとき $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ となり、 $x = 3$ が共通しています。

引き算は候補を絞るための一手で、答えを決める一手ではありません。絞ったあとに、もとの 2 式へ戻して両方が $0$ になるかを見ます。

共通解を $\alpha$ と置いて 2 式の差をとると $x^2$ が消え、$x$ の一次式が残ります。$x^2 + ax + 2 = 0$ と $x^2 + 2x + a = 0$ なら $(a-2)(\alpha-1) = 0$。ただし引き算で得られるのは候補までなので、もとの 2 式へ戻して両方が $0$ になるかを見ます。$a = 2$ が判別式で落ちる場面、$x^2$ の係数がそろわないときの直し方、2 解とも共通になる条件まで。