根号つきの係数の二次方程式〜ルートは最後まで残してよい

$x^2-2\sqrt{3}x+2=0$ の係数に $\sqrt{3}$ が入っています。小数に直さず、そのまま解の公式へ入れます。

$x$ の係数が $-2\sqrt{3}$ と偶数の形なので、$b^{\prime }=-\sqrt{3}$ として $\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$ を使う。

$$\begin{array}{rl}x& =\sqrt{3}\pm \sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-1\cdot 2}\\ & =\sqrt{3}\pm \sqrt{3-2}\\ & =\sqrt{3}\pm 1\end{array}$$

$(\sqrt{3}{)}^2=3$ と 2 乗が外れたところで、根号の中身がただの整数になりました。

係数が無理数でも公式は変わらない

解の公式は $a$、$b$、$c$ が実数であれば通ります。整数でなくてもよい。

$\sqrt{2}{x}^2-3x+\sqrt{2}=0$ を解きます。$a=\sqrt{2}$、$b=-3$、$c=\sqrt{2}$ です。

$$\begin{array}{rl}D& =(-3{)}^2-4\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\\ & =9-8=1\end{array}$$

$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$ が $2$ になり、$D$ は整数です。

$$x=\frac{3\pm 1}{2\sqrt{2}}$$

$\frac{4}{2\sqrt{2}}$ と $\frac{2}{2\sqrt{2}}$ の 2 つになります。

分母の根号は最後に外す

$\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけると分母が整数になります。

$$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

もう一方は $\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。答えは $x=\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$x=\sqrt{2}$ をもとの式に入れると $\sqrt{2}\cdot 2-3\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$ になります。

例：$x$ の係数だけに根号がある

$x^2-\sqrt{6}x+1=0$ では、$D=6-4=2$ です。

$$x=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2}$$

分母が $2$ なので有理化はいりません。根号を 2 つ含んだまま、これが答えです。

小数にすると $1.932$ と $0.518$ ですが、そう書くと正確な値ではなくなる。根号のまま残します。

判別式の符号が見えないとき

$x^2-3x+\sqrt{5}=0$ の判別式は $D=9-4\sqrt{5}$ です。この符号は、見ただけでは決まりません。

$9$ と $4\sqrt{5}$ を比べます。どちらも正なので、2 乗して比べれば大小が決まる。

$$\begin{array}{rl}{9}^2& =81\\ (4\sqrt{5}{)}^2& =16\times 5=80\end{array}$$

$81>80$ だから $9>4\sqrt{5}$ となり、$D>0$。異なる 2 つの実数解をもちます。

近い 2 数は、2 乗して整数どうしにすると差がはっきりします。どちらも正のときにだけ使える比べ方です。

例：実数解をもたない形

$x^2+\sqrt{2}x+1=0$ では $D=2-4=-2$ になります。

負なので実数解なし。係数に根号があっても、判別式の読み方は変わりません。

例：判別式に二重根号が現れる

$x^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2})x+\sqrt{6}=0$ を解きます。判別式を計算する。

$$\begin{array}{rl}D& =(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2-4\sqrt{6}\\ & =3+2\sqrt{6}+2-4\sqrt{6}\\ & =5-2\sqrt{6}\end{array}$$

根号の中に根号が入った形です。$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ はほどけます。

足して $5$、かけて $6$ になる 2 数は $3$ と $2$。大きいほうから小さいほうを引く形で $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ になります。

$$x=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})\pm (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2}$$

$+$ をとると $\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$、$-$ をとると $\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。解は $\sqrt{3}$ と $\sqrt{2}$ でした。

二重根号のほどき方

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ の形にそろえてから、足して $a$、かけて $b$ になる 2 数をさがします。

根号の前が $2$ でないときは、$\sqrt{8+\sqrt{48}}$ のように $\sqrt{48}=2\sqrt{12}$ と直してから当てます。

2 数が整数にならなければ、二重根号はほどけません。その場合はそのままの形で答えます。

有理数の係数とは決まりが違う

有理数だけを係数にもつ二次方程式では、無理数の解は必ず対で現れます。$x^2-4x+1=0$ の解は $2+\sqrt{3}$ と $2-\sqrt{3}$。

係数に根号が混ざると、この決まりは消えます。冒頭の $x^2-2\sqrt{3}x+2=0$ の解は $\sqrt{3}+1$ と $\sqrt{3}-1$ で、対になっているのは $1$ の符号のほうです。

例：全部の項に同じ根号がある

$\sqrt{2}{x}^2-5\sqrt{2}x+6\sqrt{2}=0$ では、3 つの係数すべてに $\sqrt{2}$ が入っています。

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、まるごと消える。

$$x^2-5x+6=0$$

$(x-2)(x-3)=0$ から $x=2,3$ です。公式に入れる前に、共通の因数がないかを見ておきます。

割ってよいのは $\sqrt{2}\ne 0$ だからです。$0$ で割ると解が増えたり減ったりします。

例：因数分解で解ける形

$\sqrt{3}{x}^2-(\sqrt{3}+1)x+1=0$ を、まず公式で解きます。

$$\begin{array}{rl}D& =(\sqrt{3}+1{)}^2-4\sqrt{3}\\ & =3+2\sqrt{3}+1-4\sqrt{3}\\ & =4-2\sqrt{3}\end{array}$$

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ は、和が $4$、積が $3$ の $3$ と $1$ から $\sqrt{3}-1$ です。

$$x=\frac{(\sqrt{3}+1)\pm (\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}}$$

$+$ なら $\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$、$-$ なら $\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

この式は $(\sqrt{3}x-1)(x-1)=0$ と因数分解できます。展開すると $\sqrt{3}{x}^2-\sqrt{3}x-x+1$ となり、もとの式に戻る。

係数に根号があっても、たすきがけは同じように働きます。$\sqrt{3}$ と $1$、$-1$ と $-1$ の組み合わせ。

よくある誤り

$(\sqrt{2}{)}^2$ を $\sqrt{2}$ のまま残す形が多い。2 乗すると根号は外れます。

$-2\sqrt{3}$ を偶数と見ずに、$b=-2\sqrt{3}$ のまま $D=12-8=4$ と計算しても答えは同じです。$x=\frac{2\sqrt{3}\pm 2}{2}=\sqrt{3}\pm 1$ になる。

3 番目は $5-2\sqrt{6}$ で起きます。$5$ と $2\sqrt{6}$ は同じ種類の数ではないため、そのままの形で置いておきます。

係数の根号は、2 乗される場所で外れるか、最後まで残るかのどちらかです。小数に直すと正確さが落ちるだけなので、根号のまま計算を進めます。