連立方程式に二次式が混ざったら一方の文字を消して解く

$y = x + 1$ と $x^{2} + y^{2} = 25$ を同時に満たす $x$ と $y$ をさがします。1 本目が一次なので、 $y$ をそのまま入れます。

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$

展開すると $2 x^{2} + 2 x + 1 = 25$ で、両辺を $2$ で割って移項します。

$2 x^{2} + 2 x - 24 x^{2} + x - 12 = 0 = 0$

$(x + 4) (x - 3) = 0$ から $x = - 4, 3$ 。それぞれを $y = x + 1$ に戻すと $y = - 3, 4$ です。

答えは $(x, y) = (- 4, - 3)$ と $(3, 4)$ の 2 組。 $x$ だけ書いて終わりにはできません。

連立方程式の解は、2 つの式のグラフが重なる点です。だから答えは $x$ の値ではなく、点の座標になります。

一次式があれば代入する

片方が一次なら、 $y = \dots$ の形に直して代入します。文字が 1 つ減り、二次方程式が残ります。

一次のほうを y = の形に直す

二次のほうへ代入して x だけの式にする

x を求める

y = の式に戻して y を求める

$y$ を求めるとき、もとの二次式に代入すると $y$ が 2 個ずつ現れて、組み合わせを間違えます。一次式のほうへ戻します。

$x = 3$ を $x^{2} + y^{2} = 25$ に入れると $y^{2} = 16$ で $y = \pm 4$ です。ところが $y = - 4$ は $y = x + 1$ を満たしません。

$x$ を求めたあとは、一次の式のほうへ戻す。

二次の式へ戻すと $y$ が 2 個現れ、そのうち片方は解ではない。

例：どちらも二次で、引き算が効く

$x^{2} + y^{2} = 13$ と $x^{2} - y^{2} = 5$ を連立します。 $x^{2}$ の係数がそろっているので、足し引きで文字が消えます。

2 式を足すと $2 x^{2} = 18$ で $x^{2} = 9$ 、 $x = \pm 3$ 。

2 式を引くと $2 y^{2} = 8$ で $y^{2} = 4$ 、 $y = \pm 2$ 。

$x$ と $y$ の符号は独立に選べるため、解は 4 組です。

$(3, 2), (3, - 2), (- 3, 2), (- 3, - 2)$

$x^{2}$ と $y^{2}$ しか現れない式では、符号の組み合わせが自由になります。

例：因数分解できる二次式がある

$x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0$ と $x^{2} + y^{2} = 20$ を連立します。1 本目は右辺が $0$ なので、因数分解できます。

$(x - 2 y) (x + y) = 0$

$x = 2 y$ または $x = - y$ です。1 本目が 2 本の一次式に分かれました。

$x = 2 y$ のとき、 $4 y^{2} + y^{2} = 20$ から $y^{2} = 4$ 、 $y = \pm 2$ 。 $x = 2 y$ より $(4, 2)$ と $(- 4, - 2)$ 。

$x = - y$ のとき、 $y^{2} + y^{2} = 20$ から $y^{2} = 10$ 、 $y = \pm 10$ 。 $(- 10, 10)$ と $(10, - 10)$ 。

解は 4 組です。右辺が $0$ の二次式は、まず因数分解を試します。

代入で消す

一次式があるときに使う。文字が 1 つ減って二次方程式になる

因数分解で分ける

右辺が $0$ の二次式に使う。1 本が 2 本の一次式に分かれ、それぞれで代入に持ちこむ

例：和と積が与えられる

$x + y = 5$ と $x^{2} + y^{2} = 13$ を連立します。 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ と書き直す。

$25 - 2 x y x y = 13 = 6$

和が $5$ 、積が $6$ です。 $x$ と $y$ は $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ の 2 つの解にあたります。

$(t - 2) (t - 3) = 0$ から $t = 2, 3$ 。解は $(2, 3)$ と $(3, 2)$ の 2 組です。

$x$ と $y$ を入れかえても両方の式が変わらないため、答えも入れかえた組が並びます。

$x + y$ と $x y$	そのまま $t^{2} - (和) t + (積) = 0$ へ
$x^{2} + y^{2}$	$(x + y)^{2} - 2 x y$ に直す
$x^{3} + y^{3}$	$(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ に直す
$(x - y)^{2}$	$(x + y)^{2} - 4 x y$ に直す

例：実数解をもたない連立

$y = x + 3$ と $y = x^{2} + x + 5$ を連立します。 $y$ を消すと二次方程式になる。

$x^{2} + x + 5 x^{2} = x + 3 = - 2$

$x^{2}$ が負になる実数はありません。この連立に実数解はなく、2 つのグラフは交わらない。

$y = x + k$ を $x^{2} + y^{2} = 25$ に代入すると $2 x^{2} + 2 k x + k^{2} - 25 = 0$ です。この判別式が、交点の個数を決めます。

$\frac{D}{4} = k^{2} - 2 (k^{2} - 25) = 50 - k^{2}$

$k^{2} < 50$ なら 2 組、 $k^{2} = 50$ なら 1 組、 $k^{2} > 50$ なら実数解なし。 $k = \pm 50 = \pm 52$ が境目です。

よくある誤り

$x$ と $y$ を別々に求めて、組み合わせをとりちがえる形が多い。

x

を求めただけで答えとする。組で書かない。

x

を二次の式へ戻し、

y

を 2 個とも答えに並べる。

x^{2} = 9

から

x = 3

だけを書く。

因数分解で分かれた 2 本のうち、片方だけを調べる。

x + y

と

x y

の形に直せる式を、そのまま展開して進む。

2 番目は冒頭の例で起きます。 $x = 3$ のとき $y = 4$ だけが解で、 $y = - 4$ は $y = x + 1$ に合いません。

$y = 2 x - 1$ と $x^{2} + y^{2} = 10$ の解は何組ですか。

2 組
1 組
4 組

__RESULT__

代入すると $x^{2} + (2 x - 1)^{2} = 10$ から $5 x^{2} - 4 x - 9 = 0$ です。 $D = 16 + 180 = 196 = 1 4^{2}$ で正なので、 $x$ は 2 個。それぞれに $y$ が 1 個ずつ決まります。

$x + y = 4$ 、 $x y = 3$ を満たす $(x, y)$ はどれですか。

$(1, 3)$ だけ
$(1, 3)$ と $(3, 1)$
$(2, 2)$

__RESULT__

$x$ と $y$ は $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ の 2 解です。 $(t - 1) (t - 3) = 0$ から $1$ と $3$ で、どちらを $x$ にするかで 2 組になります。

二次が混ざっても、文字を 1 つ消すところは一次の連立と同じです。消したあとに $x$ を求め、一次の式へ戻して $y$ を決める。組で答えるまでが 1 問です。

$y = x + 1$ と $x^2 + y^2 = 25$ なら、一次のほうを代入して $x^2 + x - 12 = 0$。$x$ を求めたあとは一次の式へ戻します。二次のほうへ戻すと $y$ が 2 個現れ、片方は解になりません。$x^2$ の係数がそろっていれば足し引きで消える形、右辺が $0$ の二次式が 2 本の一次式に分かれる形、和と積から $t$ の二次方程式を組む形まで。