二次方程式を前にまず何を試すか、因数分解から解の公式まで

$2x^2-8=0$、$x^2-5x+6=0$、$x^2-4x+1=0$。この 3 つは、それぞれ違う手で解くのが速い形です。

1 つ目は $x$ の項がないので、$x^2=4$ にして平方根をとります。$x=\pm 2$。

2 つ目は $(x-2)(x-3)=0$ と分かれます。$x=2,3$。

3 つ目は分かれないため、解の公式に入れます。$x=2\pm \sqrt{3}$。

$x$ の項がなければ平方根

$a{x}^2+c=0$ の形なら、$x^2$ を残して平方根をとるだけで終わります。

$3x^2-12=0$ は $x^2=4$ で $x=\pm 2$。$x^2=5$ なら $x=\pm \sqrt{5}$ です。

$(x-3{)}^2=5$ のように、すでに 2 乗の形になっているときも同じ。$x-3=\pm \sqrt{5}$ から $x=3\pm \sqrt{5}$。

$x^2=-4$ には実数解がありません。右辺が負なら、そこで終わります。

定数項がなければ共通因数

$x^2-5x=0$ は $x(x-5)=0$ と分かれます。$x=0,5$ の 2 個。

両辺を $x$ で割ると $x-5=0$ になり、$x=0$ が消えます。$x$ が $0$ かもしれない以上、割れません。

$3x^2+6x=0$ なら $3x(x+2)=0$ で $x=0,-2$。定数項がない式は、必ず $x=0$ を解にもちます。

因数分解が当たるかどうかは $D$ で分かる

係数が整数のとき、判別式が平方数なら有理数の解をもちます。逆に平方数でなければ、根号の残る解になる。

$x^2-5x+6=0$ の $D$ は $25-24=1$ です。$1$ は平方数なので分かれます。

$x^2-4x+1=0$ の $D$ は $16-4=12$。平方数ではないため、因数分解をさがす時間がむだになります。

$2x^2-7x+3=0$ の $D$ は $49-24=25$ で $5^2$ です。$(2x-1)(x-3)=0$ と分かれます。

平方数でも解が整数とは限りません。$x^2$ の係数が $1$ でないとき、分数の解になることがある。

$c$ が変わっても軸は $x=2.5$ のままです。$D$ が平方数のときだけ、交点がきりのよい値に落ちます。

例：面積で見る因数分解

$x^2+5x+6$ は $(x+2)(x+3)$ です。縦 $x+2$、横 $x+3$ の長方形に分けられます。

たてに $2$、よこに $3$ を足したので、$x$ の項は $2x+3x=5x$、定数項は $2\times 3=6$ です。

足して $5$、かけて $6$ になる 2 数をさがす、という手順はこの図から来ています。

平方完成が向く形

$x^2$ の係数が $1$ で、$x$ の係数が偶数なら、平方完成が速いことがあります。

$x^2-6x+4=0$ を見ます。$-6$ の半分は $-3$ で、その 2 乗は $9$。

$$\begin{array}{rl}(x-3{)}^2-9+4& =0\\ (x-3{)}^2& =5\end{array}$$

$x=3\pm \sqrt{5}$ です。公式に入れても同じ値になりますが、途中で $\sqrt{20}$ を約分する手間が省けます。

例：同じ式を 3 通りで解く

$x^2-4x+3=0$ は、どの手でも解けます。

因数分解なら $(x-1)(x-3)=0$ で $x=1,3$。

平方完成なら $(x-2{)}^2=1$ で $x-2=\pm 1$、$x=1,3$。

公式なら $\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}$ で $x=1,3$。

3 つとも同じ答えです。速いのは因数分解で、確実なのは公式。

手を選ぶ順番

上から順に見て、当たったところで止まります。

$D$ を先に計算しておくと、因数分解できない式で何分も止まることがなくなります。

よくある誤り

$x$ で割って解を 1 つ落とす形が、最も多く見られます。

2 番目と 3 番目は、平方根をとるときに $\pm$ を落とした形です。2 乗して同じ値になる数は 2 つあります。

式を見て、$x$ の項、定数項、判別式の順に確かめる。この 3 つを見るだけで、どの手が通るかが決まります。