値域を求める問題〜二次方程式が実数解をもつ条件に置きかえる

$y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$ が $5$ になることはあるでしょうか。$y=5$ とおいて、成り立つ $x$ があるかを調べます。

分母 $x^2-x+1$ の判別式は $1-4=-3$ で負です。どんな $x$ でも $0$ にならないため、両辺にかけられます。

$$5(x^2-x+1)=x^2+x+1$$

整理すると $4x^2-6x+4=0$、$2$ で割って $2x^2-3x+2=0$ です。判別式は $9-16=-7$。

実数の $x$ がありません。$5$ になる $x$ は存在しないので、$5$ は値域の外にあります。

値域は「その値をとる $x$ があるか」

値域とは、$y$ がとりうる値の集まりです。ある $y$ が値域に入るかどうかは、$y$ を定数と見た方程式が実数解をもつかどうかで決まります。

$y$ を文字のまま置いて、$x$ について整理します。

$$\begin{array}{rl}y(x^2-x+1)& =x^2+x+1\\ (y-1)x^2-(y+1)x+(y-1)& =0\end{array}$$

$x$ についての二次方程式が現れました。この式が実数解をもつ $y$ の範囲が、そのまま値域になります。

$x^2$ の係数が $0$ になる $y$ は別に見る

$(y-1)x^2-(y+1)x+(y-1)=0$ の $x^2$ の係数は $y-1$ です。$y=1$ のとき、この式は二次方程式ではなくなります。

$y=1$ を入れると $-2x=0$ で $x=0$。実数解があるため、$y=1$ は値域に入ります。

$y\ne 1$ のときだけ、判別式が使えます。文字係数の方程式と同じ分け方です。

$$\begin{array}{rl}D& =(y+1{)}^2-4(y-1{)}^2\\ & =\{(y+1)+2(y-1)\}\{(y+1)-2(y-1)\}\\ & =(3y-1)(3-y)\end{array}$$

$2$ 乗の差なので、展開せずに因数分解できます。$D\ge 0$ から $(3y-1)(3-y)\ge 0$。

$\frac{1}{3}\le y\le 3$ です。$y=1$ もこの中に入っているため、値域は $\frac{1}{3}\le y\le 3$ になります。

$y=3$ になる $x$ を求めると、$2x^2-4x+2=0$ から $x=1$ です。$y=\frac{1}{3}$ では $x=-1$。

判別式が $0$ になる $y$ が、値域の端にあたります。そこで曲線が折り返している。

例：$y=\frac{x}{x^2+1}$

分母の判別式は $-4$ で負なので、$0$ になりません。両辺にかけて整理します。

$$y{x}^2-x+y=0$$

$x^2$ の係数は $y$ です。$y=0$ のときは $-x=0$ で $x=0$、実数解があります。

$y\ne 0$ のとき、$D=1-4y^2\ge 0$ から $y^2\le \frac{1}{4}$、$-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$。

$y=0$ もこの中にあるため、値域は $-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$ です。

$y=\frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}=0$、両辺を $2$ 倍して $(x-1{)}^2=0$。最大値は $x=1$ でとります。

横線 $y=k$ を上下に動かすと、曲線と交わったり交わらなかったりします。交わる高さの集まりが値域です。

交点が $2$ 個から $1$ 個に減る高さが、ちょうど $D=0$ の $y$ にあたります。

例：条件つきの最大最小

$x+y=1$ のとき、$x^2+y^2$ の最小値を求めます。$x$ と $y$ は実数とします。

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=1-2xy$ です。$x^2+y^2=k$ とおくと $xy=\frac{1-k}{2}$。

和が $1$、積が $\frac{1-k}{2}$ なので、$x$ と $y$ は次の二次方程式の 2 解になります。

$$t^2-t+\frac{1-k}{2}=0$$

$x$ と $y$ が実数だという条件は、この方程式が実数解をもつことです。

$$D=1-2(1-k)=2k-1\ge 0$$

$k\ge \frac{1}{2}$ から、最小値は $\frac{1}{2}$。等号は $D=0$ のときで、$t^2-t+\frac{1}{4}=0$ から $x=y=\frac{1}{2}$ です。

どちらも「実数の $x$ が存在するか」を判別式で言いかえています。

分母が $0$ にならないことを先に見る

$y$ をかける操作は、分母が $0$ でないから許されます。$\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$ では分母の判別式が負なので、$x$ の値によらず正でした。

分母が $0$ になる $x$ がある式では、その $x$ を除いてから進みます。$y=\frac{x^2+1}{x-1}$ なら $x\ne 1$ が前提です。

$y(x-1)=x^2+1$ から $x^2-yx+y+1=0$。判別式は $y^2-4y-4\ge 0$ で、$y\le 2-2\sqrt{2}$ または $y\ge 2+2\sqrt{2}$ になります。

$x=1$ を入れると $1-y+y+1=2\ne 0$ なので、除いた値が答えに混ざる心配はありません。

よくある誤り

$x^2$ の係数が $0$ になる $y$ を落とすと、値域から 1 点だけ欠けます。

4 番目は $x>0$ のような条件がついた問題で起きます。実数解があるだけでは足りず、その解が範囲に入っているかまで見ます。

値域を直接さがすのではなく、その値をとる $x$ が存在するかに置きかえる。存在するかどうかは判別式で決まるので、値域が $y$ の不等式に変わります。