解を先に与えられたとき - 二次方程式の係数はどこまで決まるか

解が $2$ と $-3$ になる二次方程式を書きます。$x-2$ と $x+3$ の積が $0$ になればよい。

$$(x-2)(x+3)=x^2+x-6=0$$

ところが $2(x-2)(x+3)=0$ も、$-5(x-2)(x+3)=0$ も、解は同じ $2$ と $-3$ です。

$$2x^2+2x-12=0,-5x^2-5x+30=0$$

解を 2 つ決めても、二次方程式は 1 つに決まりません。決まるのは $a:b:c$ の比のほうです。

条件は 2 つ、文字は 3 つ

$a{x}^2+bx+c=0$ には $a$、$b$、$c$ の 3 つがあります。解が $\alpha$ と $\beta$ だという条件は、次の形に書けます。

$$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$$

右辺を展開すると $a{x}^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta$ です。$b$ と $c$ が $a$ で書けてしまう。

$a$ だけが残ります。$a$ を $1$ と決めれば係数が定まり、$a$ を $2$ にすれば全体が $2$ 倍になる。

$a$ を動かすと放物線は開いたり裏返ったりしますが、$x$ 軸を切る場所は動きません。どれも解は $2$ と $-3$ です。

「$x^2$ の係数を $1$ とする」「係数を整数とし、なるべく小さくする」といった但し書きが付いて、はじめて 1 つに決まります。

例：解が分数のとき

解が $\frac{1}{2}$ と $-3$ で、係数を整数にします。$\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+3)=0$ では分数が残る。

両辺を $2$ 倍すると、$\frac{1}{2}$ の分母が消えます。

$$(2x-1)(x+3)=2x^2+5x-3=0$$

$x=\frac{1}{2}$ を入れると $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-3=0$ です。

分数の解 $\frac{q}{p}$ は、$px-q$ という形にすると整数係数のまま書けます。

例：解が無理数のとき

解が $1+\sqrt{2}$ と $1-\sqrt{2}$ の二次方程式を作ります。積の形をそのまま展開してもよい。

$$\begin{array}{rl}\{x-(1+\sqrt{2})\}\{x-(1-\sqrt{2})\}& =(x-1{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2\\ & =x^2-2x+1-2\\ & =x^2-2x-1\end{array}$$

$(x-1{)}^2-2$ の形に見ると、$\sqrt{2}$ が 2 乗で消えます。展開する前にまとめておくと計算が短くなる。

$x^2-2x-1=0$ を解の公式で解き直すと $x=1\pm \sqrt{2}$。もとに戻りました。

解が 1 つしか与えられないとき

$x^2+ax+b=0$ が $x=3$ を解にもつ、という条件だけでは $a$ と $b$ は決まりません。代入して得られるのは 1 本の式です。

$$9+3a+b=0$$

文字が 2 つあるのに式は 1 本。$a$ を決めれば $b$ が決まる、という関係だけが残ります。

$a=-5$ なら $b=6$ で $x^2-5x+6=0$、もう 1 つの解は $2$。$a=0$ なら $b=-9$ で $x^2-9=0$、もう 1 つの解は $-3$ です。

例：係数が有理数だと決まる

$x^2+ax+b=0$ の $a$ と $b$ が有理数で、$x=1+\sqrt{2}$ を解にもつとします。今度は決まります。

有理数を係数にもつ二次方程式が $p+q\sqrt{r}$ を解にもつなら、$p-q\sqrt{r}$ も解です。もう 1 つの解が $1-\sqrt{2}$ だと分かる。

2 つの解がそろえば係数が書けます。さきほど計算した $x^2-2x-1$ から $a=-2$、$b=-1$。

代入して確かめる道もあります。$x=1+\sqrt{2}$ を入れて整理する。

$$\begin{array}{rl}(1+\sqrt{2}{)}^2+a(1+\sqrt{2})+b& =0\\ 3+2\sqrt{2}+a+a\sqrt{2}+b& =0\\ (3+a+b)+(2+a)\sqrt{2}& =0\end{array}$$

$a$、$b$ が有理数なので、$\sqrt{2}$ の係数と残りをそれぞれ $0$ にします。$2+a=0$ から $a=-2$、$3+a+b=0$ から $b=-1$。

例：重解として与えられる

$x=2$ を重解にもち、$x^2$ の係数が $3$ の二次方程式を作ります。$\alpha =\beta =2$ の場合です。

$$3(x-2{)}^2=3x^2-12x+12=0$$

判別式は $144-144=0$ になります。重解の $2$ は $-\frac{b}{2a}=\frac{12}{6}$ と一致する。

例：解の 1 つと係数の一部が与えられる

$2x^2+ax-6=0$ が $x=-1$ を解にもつとき、$a$ ともう 1 つの解を求めます。

代入すると $2-a-6=0$ で $a=-4$ です。式は $2x^2-4x-6=0$、両辺を $2$ で割って $x^2-2x-3=0$。

$(x-3)(x+1)=0$ から、もう 1 つの解は $x=3$ になります。

定数項が最初から $-6$ と決まっていたので、文字は $a$ だけ。条件 1 つで足ります。

例：解の和と積が与えられる

「2 つの解の和が $5$、積が $6$」という条件からも式が書けます。展開した形と見比べる。

$$x^2-(\text{和})x+(\text{積})=x^2-5x+6=0$$

$(x-2)(x-3)=0$ から解は $2$ と $3$ で、確かに和が $5$、積が $6$ です。

$x^2$ の係数を $1$ にした形で、$x$ の係数が和の符号違い、定数項が積になります。

最後の 1 つは、和と積を自由に決めると実数解がなくなる例です。$D=4-20<0$。

よくある誤り

$a$ を勝手に $1$ と決めてしまう形が多い。問題文に指定がなければ、答えは 1 つに定まりません。

4 番目は $x^2+ax+b=0$ の $a$、$b$ に条件がない場合です。$1-\sqrt{2}$ が解とは限りません。

解を与えられたら、まず $x-\alpha$ の積を作る。そのあとに、$x^2$ の係数をどう決めるかを問題文から読みます。指定がなければ、答えは比の形までです。