文字係数の二次方程式は二次とは限らない｜高校数学の場合分け

$a{x}^2+2x-1=0$ の $a$ に $0$ を入れると、$2x-1=0$ という一次方程式になります。解は $x=\frac{1}{2}$ の 1 個だけ。

$a$ が $0$ でなければ二次方程式です。$b^{\prime }=1$ として公式に入れます。

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+a}}{a}$$

同じ式が、$a$ の値によって一次にも二次にもなる。文字係数の問題では、まずここを分けます。

$x^2$ の係数が $0$ かどうか

「二次方程式」と書かれていれば $a\ne 0$ が前提です。ただ「方程式」とだけ書かれているときは、$a=0$ も起こります。

$a{x}^2+2x-1=0$ を、$a$ で場合分けして最後まで解きます。判別式は $\frac{D}{4}=1+a$ です。

$a=-1$ のとき $x=\frac{-1}{-1}=1$ です。もとの式に入れると $-1+2-1=0$ になります。

$a$ が $0$ に近づくと放物線はどんどん開き、$a=0$ で直線になります。曲線が消える瞬間に、解の個数も変わる。

例：因数分解できる形

$a{x}^2-(a+1)x+1=0$ は $(ax-1)(x-1)$ と分かれます。展開すると $a{x}^2-ax-x+1$ で、もとの式に戻ります。

$a\ne 0$ なら $x=\frac{1}{a}$ と $x=1$ の 2 つ。$a=0$ なら $-x+1=0$ で $x=1$ だけです。

$\frac{1}{a}=1$ になる $a=1$ では、2 つの解が重なります。$x=1$ の重解。

因数分解できる形では、判別式を計算しなくても場合分けが読めます。2 つの解が等しくなる $a$ をさがせばよい。

例：解が指定されている

$x^2+ax+a+3=0$ が $x=2$ を解にもつような $a$ を求めます。代入すれば $a$ の方程式になる。

$$\begin{array}{rl}4+2a+a+3& =0\\ 3a+7& =0\end{array}$$

$a=-\frac{7}{3}$ です。このときの式は $x^2-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0$ で、$3$ 倍すると $3x^2-7x+2=0$。

$(3x-1)(x-2)=0$ から、もう一方の解は $x=\frac{1}{3}$ になります。

判別式に文字が入るとき

$x^2+ax+a+3=0$ が実数解をもつ $a$ の範囲を調べます。判別式そのものが $a$ の二次式です。

$$\begin{array}{rl}D& =a^2-4(a+3)\\ & =a^2-4a-12\\ & =(a-6)(a+2)\end{array}$$

$D\ge 0$ が条件なので、$(a-6)(a+2)\ge 0$ を解きます。$a\le -2$ または $a\ge 6$。

$a=0$ で確かめると $D=-12$ で、$x^2+3=0$ には実数解がありません。範囲の外にある値です。

例：重解をもつ $a$

$D=0$ になるのは $a=6$ と $a=-2$ のときです。それぞれの重解を求めます。

重解は $x=-\frac{a}{2}$ です。平方完成すると ${\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2=0$ になるため。

$a=6$ なら $x=-3$、$a=-2$ なら $x=1$。実際に $a=6$ を入れると $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ になります。

例：$a$ で割ってよいか

$a{x}^2=4x$ を「両辺を $x$ で割って $ax=4$」と進めると、$x=0$ が消えます。

移項して因数分解する形なら落ちません。

$$x(ax-4)=0$$

$x=0$ はいつでも解です。$a\ne 0$ ならもう 1 つ $x=\frac{4}{a}$ があり、$a=0$ なら $x=0$ だけになります。

例：$a$ の値によらず成り立つ

$a$ がどんな値でも解になる $x$ をさがすときは、$a$ について整理します。$(x^2-x)+a(x-1)=0$ のような形。

$x^2+ax-x-a=0$ を $a$ でくくると $a(x-1)+x(x-1)=0$ となり、$(x-1)(x+a)=0$。

$x=1$ は $a$ に関係なく解です。$x=-a$ は $a$ ごとに動きます。

$a$ について整理して、$a$ の係数と定数項をどちらも $0$ にする、という見方もできます。$x-1=0$ かつ $x^2-x=0$ から $x=1$。

例：実数解がちょうど 1 個になる $a$

$a{x}^2+2x-1=0$ の実数解が 1 個になる $a$ を、すべて求めます。

判別式だけを見ると $1+a=0$ で $a=-1$。ここで止めると足りません。

$a=0$ のときは一次方程式になり、解は $x=\frac{1}{2}$ の 1 個です。こちらも条件を満たします。

答えは $a=0$ と $a=-1$ の 2 つ。判別式は $a\ne 0$ の側でしか働かないため、$a=0$ は別に調べます。

「解が 1 個」と「重解」は同じ意味ではありません。重解は二次方程式の言葉です。

例：文字が分母にも現れる形

$a{x}^2-(a^2+1)x+a=0$ は $(ax-1)(x-a)$ と分かれます。展開すると $a{x}^2-a^{2}x-x+a$。

$a\ne 0$ なら $x=\frac{1}{a}$ と $x=a$ の 2 つです。$a=0$ なら $-x=0$ で $x=0$ の 1 個。

$\frac{1}{a}=a$ になるのは $a^2=1$、つまり $a=1$ と $a=-1$ のときです。このとき重解になります。

$a=1$ なら $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$、$a=-1$ なら $-x^2-2x-1=-(x+1{)}^2$。

例：文字が 2 つある

$x^2-2ax+a^2-b^2=0$ を解きます。$a^2-b^2$ という形から、平方完成の相手が見えます。

$$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2-b^2& =0\\ (x-a{)}^2& =b^2\end{array}$$

平方根をとると $x-a=\pm b$ で、$x=a+b$ と $x=a-b$ です。

$b=0$ なら 2 つが重なって $x=a$ の重解になります。$b$ が正でも負でも、$\pm$ が両方を拾うため答えの組は同じ。

判別式で確かめると $\frac{D}{4}=a^2-(a^2-b^2)=b^2$ となり、$b\ne 0$ なら正です。

よくある誤り

$x^2$ の係数が $0$ になる場合を落とすのが、最も多い形です。

最後の 1 つは書き方の問題です。「$a<-1$ のとき実数解なし」のように、範囲と結論を組にして書きます。

文字が 1 つ増えるだけで、方程式の次数まで動きます。解き始める前に、$x^2$ の係数が $0$ になる値を書き出しておきます。