推論規則とは何か：正しい推論の形式的ルール - 記号論理学
これまでは真理値表を使って推論の妥当性を判定してきました。しかし、変数が増えると真理値表は急速に大きくなり、実用的ではなくなります。そこで登場するのが推論規則です。推論規則を使えば、真理値表を作らずに正しい推論を組み立てられます。
推論規則とは何か
推論規則（inference rule）とは、一定のパターンに従って前提から結論を導くことを許可するルールです。個々の推論規則は、その形式に従う推論が常に妥当であることを保証します。
推論規則は通常、横線の上に前提、下に結論を書く形式で表されます。
$ 横線の上にある前提がすべて成り立つとき、横線の下にある結論を導いてよいという意味です。 ## なぜ推論規則が必要か 真理値表は万能ですが、変数が n 個あると 2^n$ 行の表が必要です。変数が 10 個なら 1024 行、20 個なら約 100 万行になります。
変数が増えると指数的に行数が増加する。実用的には 5〜6 変数が限界。
論理式の構造に注目して段階的に推論する。変数の数に依存しない。
推論規則を使った証明は、人間の自然な思考過程に近い形で進められます。また、証明の各ステップが明示されるため、どこで何を使ったかが明確になります。
基本的な推論規則の例
いくつかの基本的な推論規則を見てみましょう。
連言導入（conjunction introduction）は、2つの命題から連言を導きます。p が成り立ち、q も成り立つなら、p ∧ q が成り立つという当然のルールです。
連言除去（conjunction elimination）は、連言から各要素を導きます。p ∧ q が成り立つなら、p が成り立ち、また q も成り立ちます。
p と q から p ∧ q を導く。2つの事実を1つにまとめる。
p ∧ q から p を導く（または q を導く）。まとまった事実から一部を取り出す。
推論規則と妥当性
推論規則は、妥当な推論のパターンを形式化したものです。各規則は、真理値表で確認すれば常に妥当であることがわかります。
たとえば連言導入の妥当性を確認すると、p が T かつ q が T のとき、p ∧ q は確かに T になります。推論規則は、このような確認済みのパターンを「使ってよいルール」として公認したものです。
複数の推論規則を組み合わせることで、より複雑な推論を構築できます。各ステップが妥当なら、全体の推論も妥当であることが保証されます。
規則の体系
論理学では、必要最小限の推論規則のセットを定めて、それだけで命題論理のすべての妥当な推論を導けるようにします。このような規則の集まりを証明体系（proof system）と呼びます。
代表的な証明体系として、ヒルベルト流の公理系と自然演繹があります。ヒルベルト流は少数の公理と1〜2個の規則を使い、自然演繹は多くの規則を使いますが公理をほとんど使いません。
推論規則を定める
規則を組み合わせる
複雑な推論を構築
証明とは何か
証明とは、推論規則を有限回適用して前提から結論を導く列のことです。各行は、公理であるか、前の行に推論規則を適用した結果であるか、仮定であるかのいずれかです。
証明が存在することを Γ ⊢ φ と書き、「Γ から φ が証明可能」と読みます。これは意味論的な ⊨（論理的帰結）とは異なる、構文論的な概念です。
次回は、最も重要な推論規則であるモーダスポネンスとモーダストレンスについて詳しく学びます。
