モーダスポネンスとモーダストレンス｜記号論理学の基本推論

モーダスポネンス（modus ponens）とモーダストレンス（modus tollens）は、含意を扱う最も基本的な推論規則です。日常的な推論でも頻繁に使われており、論理学を学ぶ上で最初に身につけるべき規則です。

モーダスポネンスとは

モーダスポネンス（modus ponens、肯定式）は、「p → q」と「p」から「q」を導く推論規則です。ラテン語で「肯定することによって肯定する方法」を意味します。

$$\frac{p\to qp}{q}$ 「もし雨が降っているなら地面が濡れている」と「雨が降っている」から「地面が濡れている」を導く。これがモーダスポネンスです。 <!-- outer_0 --> この規則は直感的に明らかですが、論理学ではこれを厳密に定式化し、他の推論と組み合わせて使えるようにします。 ## モーダストレンスとは モーダストレンス（modus tollens、否定式）は、「p → q」と「¬q」から「¬p」を導く推論規則です。ラテン語で「否定することによって否定する方法」を意味します。 $\frac{p\to q\neg q}{\neg p}$$

「もし雨が降っているなら地面が濡れている」と「地面が濡れていない」から「雨が降っていない」を導く。これがモーダストレンスです。

対偶との関係

モーダストレンスは対偶を使って理解できます。p → q と ¬q → ¬p は論理的に同値（対偶）なので、モーダストレンスはこの同値性とモーダスポネンスを組み合わせたものとみなせます。

¬q → ¬p と ¬q から ¬p を導く、と考えればモーダスポネンスと同じ形です。

誤った推論パターン

モーダスポネンスとモーダストレンスに似ているが妥当でない推論パターンがあります。これらは論理的誤謬として知られています。

後件肯定の誤り（affirming the consequent）は、p → q と q から p を導こうとする誤りです。「雨なら地面が濡れる」「地面が濡れている」から「雨だ」は導けません。スプリンクラーかもしれないからです。

前件否定の誤り（denying the antecedent）は、p → q と ¬p から ¬q を導こうとする誤りです。「雨なら地面が濡れる」「雨でない」から「地面が濡れていない」は導けません。

真理値表での確認

モーダスポネンスの妥当性を真理値表で確認してみましょう。

前提「p → q」と「p」が両方 T になる行を探すと、p = T かつ q = T の行だけです。その行で結論 q は確かに T なので、モーダスポネンスは妥当です。

モーダストレンスも同様に確認できます。「p → q」と「¬q」が両方 T になる行は p = F かつ q = F の行だけであり、その行で ¬p は T です。

証明での使用例

実際の証明では、これらの規則を組み合わせて使います。

たとえば、{p → q, q → r, p} から r を導くには、まず p → q と p にモーダスポネンスを適用して q を得ます。次に q → r と q にモーダスポネンスを適用して r を得ます。

このように、基本的な推論規則を連鎖させることで、複雑な推論を構築できます。次回は、自然演繹という証明体系の全体像を学びます。