論理的同値とは何か：同じ意味を持つ論理式の判定 - 記号論理学

論理的同値（logical equivalence）は、2つの論理式が「同じ意味」を持つことを表す概念です。同じ意味とは、命題変数にどんな値を代入しても、両者の真理値が一致することを指します。

論理的同値の定義

2つの論理式 φ と ψ が論理的同値であるとは、すべての真理値割り当てに対して φ と ψ の真理値が等しいことをいいます。記号では φ ≡ ψ と書きます。

これは「φ ↔ ψ がトートロジーである」ことと同じ意味です。双条件文 φ ↔ ψ は、φ と ψ の真理値が一致するときに真になるので、すべての行で真になるなら、常に一致するということになります。

真理値表で論理的同値を判定する

論理的同値を判定する最も確実な方法は、両方の論理式の真理値表を作って比較することです。すべての行で真理値が一致すれば同値です。

たとえば p → q と ¬p ∨ q が論理的同値かどうかを確認してみましょう。

真理値表を作ると、どの行でも両者は同じ値になります。したがって p → q ≡ ¬p ∨ q が成り立ちます。この等式は、含意を否定と選言で書き換えられることを示しており、非常に有用です。

重要な論理的同値

記号論理学にはよく使われる論理的同値がたくさんあります。これらを覚えておくと、論理式の変形がスムーズにできます。

交換法則・結合法則・分配法則

連言と選言には、代数と似た法則が成り立ちます。

交換法則により、p ∧ q ≡ q ∧ p および p ∨ q ≡ q ∨ p です。順序を入れ替えても同値になります。

結合法則により、(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) および (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) です。括弧の位置を変えても同値になります。

分配法則により、p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) および p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) です。これは代数の分配法則に似ていますが、∧ と ∨ の両方について対称的に成り立つ点が特徴です。

吸収法則

やや特殊ですが便利な法則として、吸収法則があります。

p ∧ (p ∨ q) ≡ p および p ∨ (p ∧ q) ≡ p

これは、p と何かの選言を p と連言しても、結局 p と同じになるという法則です。真理値表で確認できます。

論理的同値の使い方

論理的同値は、論理式を別の形に書き換えるときに使います。ある論理式が扱いにくいとき、同値な別の形に変換すると簡単になることがあります。

たとえば ¬(p → q) を整理したいとき、まず p → q ≡ ¬p ∨ q を使って ¬(¬p ∨ q) と書き換え、次にド・モルガンの法則で ¬¬p ∧ ¬q とし、最後に二重否定で p ∧ ¬q を得ます。

このように、論理的同値は論理式の「計算」を可能にする基本的なツールです。次回は、論理的帰結の概念を学びます。