1000 の約数は 16 個、全部足すと 2340（約数の個数と総和の求め方）

$1000$ の約数は 16 個あります。全部足すと $2340$、全部かけると $1000^8$。どれも 1 つずつ書き出さずに出せます。

必要なのは素因数分解だけ。$1000=2^3\times 5^3$ という形が分かれば、個数も総和も総積も式で片づきます。

約数は指数の組で決まる

$1000$ の約数を 1 つとると、かならず $2^a\times 5^b$ の形になります。$1000$ が持っていない素因数は、その約数にも現れないためです。

指数には上限があります。$a$ は $0$ から $3$ まで、$b$ も $0$ から $3$ まで。$2^4=16$ を含む数は $1000$ を割り切りません。

だから約数は $(a,b)$ の組と 1 対 1 に対応する。$a$ が 4 通り、$b$ が 4 通りで、$4\times 4=16$ 個になります。

マス目の 1 つ 1 つが約数です。$1$ から $1000$ まで、抜けも重複もなく並びます。

個数の公式

一般に $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解できるとき、正の約数の個数は次のようになります^[1]。

$$d(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$$

素因数ごとに指数を $0$ から $a_i$ まで選べるので、選び方は $a_i+1$ 通り。それを掛け合わせた数が約数の個数です。

$+1$ を落とすのが最も多い誤りになります。指数が $3$ なら選べるのは $0,1,2,3$ の 4 通りで、3 通りではない。

手順はこれだけ。あとは掛け算の練習です。

例：720 の約数の個数

$720=2^4\times 3^2\times 5$ です。指数は $4$、$2$、$1$ の 3 つ。

$$d(720)=(4+1)(2+1)(1+1)=5\times 3\times 2=30$$

30 個あります。書き出して数えるより、はるかに速い。

例：素数のべきと 2 つの素数の積

$2^{10}=1024$ なら $10+1=11$ 個。素数のべきでは、指数に $1$ を足すだけで終わります。

異なる素数 $p$、$q$ の積なら $2\times 2=4$ 個。$1$、$p$、$q$、$pq$ の 4 つで、たしかに合っている。

$100=2^2\times 5^2$ なら $3\times 3=9$ 個です。$1,2,4,5,10,20,25,50,100$ を数えると 9 個になります。

総和は展開すると出る

約数を全部足すときも、1 つずつ足す必要はありません。かっこの積を展開すると、約数が漏れなく現れます。

$$(1+2+4+8)(1+5+25+125)$$

左のかっこから 1 つ、右のかっこから 1 つ選んで掛ける。組み合わせは 16 通りで、どれも $1000$ の約数になります。

展開した項をすべて足したものが、そのまま約数の総和になる。$15\times 156=2340$ です。

総和の公式

一般形はこうなります^[1,2]。

$$\sigma (n)=\prod _{i=1}^k\left(1+p_i+p_i^2+\cdots +p_i^{a_i}\right)$$

各かっこは等比数列の和なので、次のようにも書けます。

$$1+p+p^2+\cdots +p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$$

分数の形は暗算に向きません。指数が小さいうちは、足し算のまま計算するほうが速い。

例：720 の約数の総和

$720=2^4\times 3^2\times 5$ でした。素因数ごとにかっこを作ります。

$$\begin{array}{rl}\sigma (720)& =(1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5)\\ & =31\times 13\times 6=2418\end{array}$$

$2418$ です。約数を 30 個書き出して足す作業が、3 つの数の掛け算に変わりました。

例：等比数列の和で書く

$2^{10}$ の約数の総和は $\frac{2^{11}-1}{2-1}=2047$。指数が大きいときはこちらが速い。

$3^5=243$ なら $\frac{3^6-1}{3-1}=\frac{728}{2}=364$ になります。

$1+3+9+27+81+243$ を順に足しても $364$。どちらの道でも同じ値に着きます。

総積はペアで考える

約数を小さい順に並べ、両端から寄せていきます。いちばん小さい $1$ といちばん大きい $n$、次に小さいものと次に大きいもの。

どの組も、掛けると $n$ になります。$d$ が約数なら $n÷d$ も約数で、その 2 つがちょうど相手どうし。

$36$ の約数は 9 個で、組は 4 つと余りが 1 つ。真ん中の $6$ だけ、相手が自分自身になります。

総積の公式

組が $\frac{d(n)}{2}$ 個できるので、総積は次の形になります^[3]。

$$\prod _{d\mid n}d=n^{\frac{d(n)}{2}}$$

$1000$ なら $d(1000)=16$ なので $1000^8$。指数がちょうど整数になりました。

$d(n)$ が奇数のときも式は同じです。指数が半整数になり、余った $\sqrt{n}$ のぶんを埋めてくれる。

例：36 の約数の総積

$36$ の約数は $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ の 9 個でした。

$$36^{\frac{9}{2}}={\left(6^2\right)}^{\frac{9}{2}}=6^9=10077696$$

$36=6^2$ なので、半整数の指数が消えて $6^9$ になります。実際に 9 個を掛けても同じ値です。

$6$ の約数 $1,2,3,6$ なら $6^{4/2}=36$。掛けると $1\times 2\times 3\times 6=36$ で合っています^[3]。

個数が奇数になるのは平方数だけ

ペアが作れなくなるのは、$d$ と $n÷d$ が同じ数になるときです。$d^2=n$、つまり $d=\sqrt{n}$ の場合。

これが起きるのは $n$ が平方数のときに限られます。そのとき約数はペア 1 組ぶんだけ足りず、個数が奇数になる。

公式の側から見ても同じです。$d(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots$ が奇数になるのは、すべての $a_i$ が偶数のとき。指数が全部偶数の数が平方数です。

例：約数がちょうど 3 個の数

$d(n)=3$ とします。$3$ は素数なので、$(a_1+1)(a_2+1)\cdots =3$ と書けるのは 1 つの因数が $3$ の場合だけ。

つまり素因数は 1 種類で、その指数が $2$。$n=p^2$ の形に限られます。

$4,9,25,49,121$ などが該当する。約数はそれぞれ $1$、$p$、$p^2$ の 3 個です。

例：約数の個数から数を決める

$d(n)=4$ なら、$4=4$ か $4=2\times 2$ に分かれます。前者は $n=p^3$、後者は $n=pq$。

$8=2^3$ と $6=2\times 3$ が、それぞれの代表になります。どちらも約数は 4 個。

$d(n)=6$ なら $6=6$ と $6=2\times 3$ で、$n=p^5$ か $n=p^{2}q$。$32$ と $12$ が例です。

素因数分解さえ正しければ、あとは指数の足し算と掛け算だけ。約数を書き出す作業は、検算のときにとっておきます。

参考文献