「逆数を 3 つ足して 1」になる整数の組は 3 通りだけ、不定方程式の絞り込み

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ をみたす正の整数の組は、$(2,3,6)$、$(2,4,4)$、$(3,3,3)$ の 3 つだけです。

無限にありそうな見た目ですが、そうではありません。大小を仮定して範囲を出すと、調べる場所が数個に減ります。

大小を仮定して範囲を出す

$x\le y\le z$ としてかまいません。順序を入れかえたものは、あとから数え直せます。

このとき $\frac{1}{x}$ が 3 つの中でいちばん大きい。だから 3 つの和は $\frac{3}{x}$ を超えません。

$$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le \frac{3}{x}$$

ここから $x\le 3$ が出ます。$x$ の候補は $1$、$2$、$3$ の 3 つだけになりました。

$x=4$ 以上では $\frac{3}{4}<1$ となり、3 つ足しても $1$ に届きません。ここで候補が尽きます。

例：x = 1 は起きない

$x=1$ とすると $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ になります。

$y$ と $z$ は正なので、左辺は正。$0$ にはなりません。$x=1$ は解を生みません。

例：x = 2 の場合

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ を解きます。同じ手で $y$ の範囲を出す。

$\frac{1}{y}$ のほうが大きいので $\frac{1}{2}\le \frac{2}{y}$、つまり $y\le 4$。$y\ge x=2$ とあわせて $y$ は $2$、$3$、$4$。

$y=2$ では $\frac{1}{z}=0$ で不可。$y=3$ なら $z=6$、$y=4$ なら $z=4$。2 組が出ました。

例：x = 3 の場合

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$ です。$\frac{2}{3}\le \frac{2}{y}$ から $y\le 3$。

$y\ge 3$ とあわせて $y=3$ に決まります。すると $\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$ で $z=3$。

$(3,3,3)$ の 1 組だけ。これで $x$ の 3 通りをすべて調べ終えました。

順序を区別するかどうか

$(2,3,6)$ は 3 つとも違う数なので、並べかえが $3!=6$ 通り。$(2,4,4)$ は同じ数が 2 つあるので 3 通り。

$(3,3,3)$ は 1 通りです。合わせて $6+3+1=10$ 通り。

問題文が「組」を求めているのか「$(x,y,z)$ の組」を求めているのかで答えが変わる。読み落とさないようにします。

積の形に持ち込む

分母が 2 つのときは、大小の仮定より変形が速い。$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$ を例にとります。

両辺に $4xy$ を掛けて整理すると $4y+4x=xy$。移項して $xy-4x-4y=0$ です。

ここで両辺に $16$ を足すと、左辺が積に分かれます^[1]。

$$(x-4)(y-4)=16$$

$16$ の約数の組を並べるだけで、解がすべて出ます。無限個の候補が、約数の個数ぶんに縮みました。

例：分母が 4 のとき

$(x-4)(y-4)=16$ で、$x$ と $y$ は正の整数。$x-4$ と $y-4$ は $16$ の約数の組です。

$x\le y$ とすると $(x-4,y-4)$ は $(1,16)$、$(2,8)$、$(4,4)$ の 3 通り。

答えは $(5,20)$、$(6,12)$、$(8,8)$。順序を区別すると 5 通りになります。

例：分母が 6 のとき

同じ手順で $(x-6)(y-6)=36$ になります。$36$ の約数の組は $(1,36)$、$(2,18)$、$(3,12)$、$(4,9)$、$(6,6)$。

$(7,42)$、$(8,24)$、$(9,18)$、$(10,15)$、$(12,12)$ の 5 組が出ます。

一般に $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ の解の個数は、$n^2$ の約数の個数から決まります。$36$ の約数は 9 個で、$x\le y$ に絞ると 5 組。

例：係数がある場合

$xy-2x-3y=0$ を解きます。$x$ の係数に合わせて $y$ の項をまとめる形に持ち込む。

両辺に $6$ を足すと $xy-2x-3y+6=6$ で、左辺は $(x-3)(y-2)$ に分かれます。

$$(x-3)(y-2)=6$$

正の整数解は $(4,8)$、$(5,5)$、$(6,4)$、$(9,3)$ の 4 組。定数の足し方は、$x$ の係数と $y$ の係数を掛けた値です。

例：和と積が等しい

$x+y+z=xyz$ をみたす正の整数を求めます。$x\le y\le z$ と仮定する。

左辺は $3z$ 以下なので $xyz\le 3z$、つまり $xy\le 3$。組は $(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$ の 3 通り。

$xy=1$ なら $2+z=z$ で不可。$xy=2$ なら $3+z=2z$ で $z=3$。$xy=3$ なら $4+z=3z$ で $z=2$ となり $y\le z$ に反します。

答えは $(1,2,3)$ の 1 組だけ。ここでも、範囲を出してから 1 つずつ調べる流れは変わりません。

よくある誤り

範囲を出してから 1 つずつ調べる。この順番さえ守れば、見た目が難しい方程式でも調べる場所は数個に収まります。

参考文献