$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ の正の整数解は $(2,3,6)$、$(2,4,4)$、$(3,3,3)$ の 3 組しかありません。$x \leq y \leq z$ と決めてしまえば $1 \leq \frac{3}{x}$ から $x \leq 3$ に縮み、調べる場所が 3 つになる。分母が 2 つのときは $(x-4)(y-4)=16$ のように積へ直し、約数の組を並べれば終わります。$xy-2x-3y=0$ で足す定数の決め方、$x+y+z=xyz$ の解が 1 組しかない話、順序を区別すると 10 通りになる数え直しまで扱いました。