余りで詰めて無限降下で落とす - 整数解がないことを証明する

$x^2+y^2=3z^2$ をみたす整数の組は $(0,0,0)$ だけです。ほかには 1 つもありません。

「解が見つからない」ではなく「存在しない」を示します。使う道具は 2 つで、余りによる絞り込みと、解を小さくしていく降下です。

まず 3 で割った余りを見る

平方を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ に限られます。$n=3k$ なら $0$、$n=3k\pm 1$ なら $1$。

$2$ は現れません。ここから、左辺の $x^2+y^2$ が $3$ の倍数になる場合が絞られます。

$9$ 通りのうち、和が $3$ の倍数になるのは $x$ と $y$ の両方が $3$ の倍数のときだけ。右辺は $3z^2$ なので $3$ の倍数です。

したがって $x$ も $y$ も $3$ で割り切れます。ここが最初の関門でした。

降下させる

$x=3X$、$y=3Y$ と置いて代入します。

$$\begin{array}{rl}9X^2+9Y^2& =3z^2\\ 3(X^2+Y^2)& =z^2\end{array}$$

左辺が $3$ の倍数なので $z^2$ も $3$ の倍数。平方が $3$ の倍数なら、もとの数も $3$ の倍数です。

$z=3Z$ と置くと $3(X^2+Y^2)=9Z^2$ となり、$X^2+Y^2=3Z^2$。

もとの式に戻りました。$(x,y,z)$ が解なら $\left(\frac{x}{3},\frac{y}{3},\frac{z}{3}\right)$ も解になります^[1]。

$0$ でない解が 1 つでもあれば、そこから無限に小さい正の解の列が作れてしまいます。正の整数にそんな列はありません^[2]。

だから $0$ でない解は存在しない。残るのは $(0,0,0)$ だけです。

無限降下という道具

この筋道を無限降下といいます。解があると仮定し、そこからより小さい解を作り、正の整数が無限に下がれない事実にぶつける^[3]。

背理法の一種ですが、矛盾の出し方が決まっている点が違います。作るのは「もっと小さい解」で、そこだけに集中すればよい。

例：2 の平方根が無理数

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ と書けたとします。両辺を 2 乗して $2q^2=p^2$^[2]。

左辺が偶数なので $p$ は偶数。$p=2r$ と置くと $2q^2=4r^2$ となり $q^2=2r^2$。

今度は $q$ が偶数になります。$q=2s$ と置けば $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ で、分母も分子も小さくなった^[3]。

これをくり返すと分母が無限に小さくなります。正の整数では起きないので、$\sqrt{2}$ は分数で書けません。

例：3 乗の方程式

$x^3+2y^3=4z^3$ をみたす整数は $(0,0,0)$ だけです。今度は $2$ で降下します。

$2y^3$ と $4z^3$ が偶数なので $x^3$ も偶数、よって $x$ は偶数。$x=2X$ と置くと $8X^3+2y^3=4z^3$ で、整理して $4X^3+y^3=2z^3$。

同じ理屈で $y$ が偶数、続いて $z$ も偶数だと分かります。$y=2Y$、$z=2Z$ を代入すると $X^3+2Y^3=4Z^3$。

もとの形に戻りました。すべてを $2$ で割った組がまた解になるので、$0$ でない解は作れません。

例：余りだけで終わる場合

いつも降下が要るわけではありません。$x^2-3y^2=2$ には整数解がなく、これは余りだけで片づきます。

$3$ で割って見ると、左辺は $x^2$ の余りと同じ。$x^2$ の余りは $0$ か $1$ です。

右辺の $2$ は余り $2$。一致しないので、解はありません。降下に進む前に終わりました。

例：4 で割ると 3 余る数

$x^2+y^2$ が $4$ で割って $3$ 余ることはありません。平方を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ だからです。

和として作れるのは $0$、$1$、$2$ の 3 通り。$3$ は届きません。

だから $x^2+y^2=4k+3$ の形の方程式は、$k$ が何であっても解を持たない。$7$、$11$、$15$ などが 2 つの平方の和にならない理由です。

どの数で割るかを決める

見るべき $m$ は、式の係数から見当がつきます。$3z^2$ があるなら $3$、$4z$ があるなら $4$。

平方が出てくるときは $3$、$4$、$8$ が効きます。3 乗なら $9$、$7$ が効くことが多い。

うまくいく $m$ では、右辺のとる余りが左辺のとりうる余りの外にあります。小さい $m$ から順に試すのが早い。

検算

余りの表を作り直して確かめます。$x^2$ の余りを $3$ で見るなら、$x=0,1,2$ の 3 通りで足ります。

降下を使ったときは、割ったあとの式がもとと同じ形かを見ます。形が変われば降下になりません。

$0$ が解になっているかも確かめる。$x^2+y^2=3z^2$ では $(0,0,0)$ が解なので、「解なし」ではなく「$0$ だけ」が答えです。

よくあるミス

余りで候補を削り、残ったところから共通因数を引き出す。この 2 段構えで、解の不在という強い主張が示せます。

参考