各位の和を見れば 3 と 9 はわかる〜4・8・11 の倍数も同じ仕組み

$123456789$ は $9$ で割り切れます。各位の和が $1+2+\cdots +9=45$ で、$45$ が $9$ の倍数だからです。

割り算は 1 度もしていません。$9$ 桁の数の判定が、1 桁の足し算だけで終わりました。同じことが $3$、$4$、$8$、$11$ でも起きます。

10 のべきを余りに置きかえる

各位が $a$、$b$、$c$、$d$ の $4$ 桁の数は、位ごとの重みを使って次のように書けます。

$$1000a+100b+10c+d$$

ある数 $m$ で割った余りを考えるとき、$1000$、$100$、$10$ をそのまま扱う必要はありません。それぞれを $m$ で割った余りに置きかえてよい^[1]。

判定法はここから全部出ます。$10$ のべきが $m$ でどんな余りになるか、それだけの話です。

$9$ の行はすべて $1$、$11$ の行は $1$ と $-1$ が交互。この違いが、和で見るか交代和で見るかの分かれ目になります。

3 と 9 は各位の和

$10$ を $9$ で割った余りは $1$。$100$ も $1000$ も同じで、$10^k$ はすべて $1$ になります^[1,2]。

$$10\equiv 1(\mathrm{mod}9)⟹10^k\equiv 1(\mathrm{mod}9)$$

だから $1000a+100b+10c+d\equiv a+b+c+d$。もとの数と各位の和は、$9$ で割った余りが同じです。

$3$ でも事情は変わりません。$10\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので、同じ議論がそのまま通ります。

和がまだ大きければ、その和にもう一度同じ操作を当てられます。$45$ から $4+5=9$ が出て、$9$ の倍数だと確定する。

例：3 と 9 を見分ける

$45678$ の各位の和は $4+5+6+7+8=30$。$30$ は $3$ の倍数なので、$45678$ も $3$ の倍数です。

いっぽう $30$ は $9$ の倍数ではありません。だから $45678$ は $9$ では割り切れない。$45678=9\times 5075+3$ で、余りは $3$ です。

$3$ で割り切れるが $9$ では割り切れない数は、この形で見分けられます。和を出したあと、$3$ と $9$ の両方で確かめる。

例：余りまで読みとる

判定だけでなく、余りもそのまま出ます。$1234$ の各位の和は $10$、$10$ を $9$ で割った余りは $1$。

したがって $1234$ を $9$ で割った余りも $1$ です。実際 $1234=9\times 137+1$。

$3$ で割った余りも同じ手が使えます。$10$ を $3$ で割ると余り $1$ なので、$1234$ の余りも $1$。

4 と 8 は下の桁だけ

$100$ は $4$ で割り切れます。だから $100$ 以上の位は、$4$ で割った余りにいっさい効きません^[2]。

残るのは下 2 桁だけ。同じように $1000=8\times 125$ なので、$8$ の判定には下 3 桁だけを見ます。

$51736$ で試します。下 2 桁は $36$ で $4$ の倍数、下 3 桁は $736=8\times 92$ で $8$ の倍数。どちらでも割り切れます。

例：4 と 8 で答えが分かれる

$2748$ の下 2 桁は $48$ で、$4$ の倍数。下 3 桁は $748$ で、$8$ で割ると $93$ 余り $4$ です。

つまり $2748$ は $4$ の倍数だが $8$ の倍数ではない。$2748=4\times 687$ で、$687$ が奇数なので $2$ がもう 1 つとり出せません。

$16$ の判定なら下 4 桁を見ます。$10^4=16\times 625$ だからです。$2^k$ の判定には下 $k$ 桁で足ります。

11 は交代和

$10$ を $11$ で割った余りは $-1$ と見なせます。$10=11-1$ なので、$-1$ とみて差し支えありません。

すると $10^k$ の余りは $1$ と $-1$ を交互にくり返す。一の位から順に、足す、引く、足す、引くの並びになります^[1,3]。

$$10\equiv -1(\mathrm{mod}11)⟹10^k\equiv (-1{)}^k(\mathrm{mod}11)$$

一の位から交互に符号を付けて足したものが、交代和。これが $11$ の倍数なら、もとの数も $11$ の倍数です。

例：11 の判定

$90728$ の交代和は、一の位から $8-2+7-0+9=22$。$22$ は $11$ の倍数なので、$90728$ も $11$ の倍数です。

割ると $90728=11\times 8248$。確かに割り切れました。

$143$ なら $3-4+1=0$。$0$ も $11$ の倍数と数えるので、$143=11\times 13$ で割り切れます。

例：交代和が負になるとき

$2090$ の交代和は $0-9+0-2=-11$。負の数でも判定は同じで、$11$ の倍数なら割り切れます。

$2090=11\times 190$ です。符号が気になるなら、逆向きに足し引きして $11$ としても結論は変わりません。

大きさだけを見るのが確実。$-11$ と $11$ のどちらで書いても、$11$ で割り切れることに違いはない。

6 や 12 は組み合わせる

$6=2\times 3$ で、$2$ と $3$ は互いに素です。だから $6$ の倍数かどうかは、$2$ の倍数かつ $3$ の倍数かで決まります。

$456$ は偶数で、各位の和が $15$ なので $3$ の倍数。よって $6$ の倍数です。$456=6\times 76$。

$12=4\times 3$ でも同じ。$2736$ は下 2 桁が $36$ で $4$ の倍数、各位の和が $18$ で $3$ の倍数なので、$12$ の倍数になります。

発展：7 と 11 と 13 をまとめて見る

$1001=7\times 11\times 13$ という分解があります。$1000\equiv -1$ が、この 3 つで同時に成り立つ^[1]。

だから数を右から 3 桁ずつ区切り、その区切りで交代和をとる。得られた値の余りが、もとの数の余りに一致します。

$2002$ なら区切りは $2$ と $002$ で、交代和は $2-2=0$。$7$、$11$、$13$ のすべてで割り切れます。

$1234567$ なら $567-234+1=334$。$334$ を $7$ で割ると余り $5$ で、$1234567$ の余りも $5$ です。

検算のしかた

判定した結果は、実際に割って確かめられます。$45678÷3=15226$ で割り切れ、$÷9$ では余りが出る。

小さい数で公式を試すのも有効です。$18$ の各位の和は $9$、$27$ は $9$、$36$ も $9$。$9$ の段が並ぶのは偶然ではありません。

よくある誤り

$10$ のべきを余りに置きかえる。この 1 つの見方から、$3$ も $9$ も $4$ も $8$ も $11$ も出てきます。

参考