無限等比級数の和の公式：公比の絶対値が 1 より小さいときだけ収束する

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ をどこまで足しても $1$ を超えず、$1$ に限りなく近づきます。長さ $1$ の線分を、残っているところの半分ずつ塗っていくと同じことが起きる。

塗り残しが $0$ になることはありません。それでもいくらでも小さくできる、という点が収束の意味です。

部分和を作ってから n を大きくする

無限個をいっぺんに足す方法はないため、先頭から $n$ 個までの和を作り、$n$ を大きくしたときの行き先を見る。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列なら、第 $n$ 項までの和は次のとおり。

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}(r\ne 1)$$

$|r|<1$ のとき $r^n$ は $0$ へ近づきます。$0.5^{10}$ はおよそ $0.001$、$0.5^{20}$ はおよそ $0.000001$。

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-r}$$

この $S$ を無限等比級数の和といいます。分母の $1-r$ は、公比が $1$ に近いほど小さくなり、和を大きくする。

収束するのは公比が -1 と 1 のあいだにあるとき

$r=1$ では $a+a+a+\dots$ となって増え続けます。$r=-1$ なら部分和が $a$ と $0$ を行き来し、1 つの値に落ちつかない。

初項が $0$ のときは、公比によらず和も $0$ です。問題によっては、この場合を分けて書く必要があります。

例：基本の計算

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ を求める。

初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{2}$ で、$|r|<1$ だから収束する。

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

はじめに見た $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =1$ に、先頭の $1$ を足した形です。

例：公比が負の場合

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n$ を求めます。

初項は ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^0=1$、公比は $-\frac{1}{3}$。$|r|=\frac{1}{3}<1$ で収束する。

$$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$$

分母で符号が二重になる。$1-(-r)$ は $1+r$ なので、ここを見落とすと答えがずれます。

例：循環小数を分数に直す

$0.777\dots$ を分数で表します。

$$0.777\cdots =\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\dots$$

初項 $\frac{7}{10}$、公比 $\frac{1}{10}$ の無限等比級数。

$$S=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{9}$$

$0.\dot{2}\dot{7}$ のように 2 桁くり返す場合は、公比が $\frac{1}{100}$ になります。

$$\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$$

くり返す桁数だけ公比の分母に $0$ が増える。循環小数がかならず分数で書けるのは、この計算がいつでも通るからです。

例：正方形を内側へ描き続ける

1 辺 $1$ の正方形の各辺の中点を結び、内側に新しい正方形を作ります。この操作をくり返したとき、できた正方形すべての面積の和を求める。

中点を結んだ正方形の面積は、もとの半分。よって面積は $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots$ と並ぶ。

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

無限に描き続けても、面積の合計は $2$ で止まります。図形の問題では、1 段階でどれだけ縮むかを先に求める。

例：収束する x の範囲を求める

$x+x(1-x)+x(1-x{)}^2+\dots$ が収束する $x$ の範囲と、そのときの和を求めます。

初項 $x$、公比 $1-x$ の無限等比級数なので、場合を分ける。

$x=0$ のときは、すべての項が $0$ で和も $0$ です。

$x\ne 0$ のときの条件は $|1-x|<1$。

$$-1<1-x<1⟹0<x<2$$

このときの和を計算する。

$$S=\frac{x}{1-(1-x)}=\frac{x}{x}=1$$

答えは、$0<x<2$ で和は $1$、$x=0$ で和は $0$。初項が $0$ になる場合を落とさないことが、この型の要点です。

有限で止まる無限和は昔から使われてきた

アルキメデスは、放物線と直線で囲まれた図形の面積を、この足し方で求めています。内側に三角形を敷きつめていくと、段ごとに加わる面積が前の段の $\frac{1}{4}$ になる。

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$$

囲まれた図形の面積は、最初に入れた三角形の $\frac{4}{3}$ 倍。段が無限にあっても面積が有限で止まる理由は、公比が一定であることから示せます。

くわしい筋道は Archimedes’ quadrature of the parabola and the method of exhaustion（Calculus II, John Abbott College）にあります。

公比の絶対値が $1$ より小さいかどうかを最初に見て、それから $\frac{a}{1-r}$ に入れる。初項が $0$ になりうる形では、その場合を別に書き添えます。