無限等比級数の収束条件と和

無限等比級数とは、等比数列の無限個の項の和である。

$n = 1 \sum \infty a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots$

収束条件

無限等比級数が収束するのは $∣ r ∣ < 1$ のときに限る。このとき、

$n = 1 \sum \infty a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r}$

$∣ r ∣ \geq 1$ のときは発散する（和が定まらない）。

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項までの和は

$S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$

$∣ r ∣ < 1$ のとき $r^{n} \to 0$ （ $n \to \infty$ ）なので、

$S = n \to \infty lim S_{n} = \frac{a}{1 - r}$

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ の和を求めよ。

初項 $a = 1$ 、公比 $r = \frac{1}{2}$ 。 $∣ r ∣ < 1$ なので収束し、

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

$n = 0 \sum \infty (- \frac{1}{3})^{n}$ を求めよ。

初項 $1$ 、公比 $- \frac{1}{3}$ 。 $∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1$ なので収束し、

$S = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

循環小数 $0.333 \dots$ を分数で表せ。

$0.333 \dots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$