無限等比級数の収束条件と和

無限等比級数とは、等比数列の無限個の項の和である。

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$$

収束条件

無限等比級数が収束するのは $|r|<1$ のときに限る。このとき、

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}$$

$|r|\ge 1$ のときは発散する（和が定まらない）。

導出

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項までの和は

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$|r|<1$ のとき $r^n\to 0$（$n\to \infty$）なので、

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-r}$$

例題1

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ の和を求めよ。

初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{2}$。$|r|<1$ なので収束し、

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

例題2

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n$ を求めよ。

初項 $1$、公比 $-\frac{1}{3}$。$|r|=\frac{1}{3}<1$ なので収束し、

$$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$$

例題3

循環小数 $0.333\dots$ を分数で表せ。

$$0.333\dots =\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\cdots =\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$