無限級数の収束・発散の判定

無限級数 $n = 1 \sum \infty a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ が収束するか発散するかを判定する方法を見ていく。

収束の必要条件

無限級数が収束するならば、 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ が必要である。

ただしこれは十分条件ではない。 $a_{n} \to 0$ でも発散することがある。

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ は発散する。

$\frac{1}{n} \to 0$ だが、和は無限大に発散する。これを調和級数という。

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}}$ は $p > 1$ のとき収束、 $p \leq 1$ のとき発散する。

$0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ のとき、

\sum b_{n}

が収束すれば

\sum a_{n}

も収束

\sum a_{n}

が発散すれば

\sum b_{n}

も発散

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1}$ の収束・発散を調べよ。

$\frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n ^{2}}$ であり、 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ は収束する。比較判定法より、 $\sum \frac{1}{n ^{2} + 1}$ も収束する。