無限級数の収束・発散の判定

無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$ が収束するか発散するかを判定する方法を見ていく。

収束の必要条件

無限級数が収束するならば、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ が必要である。

ただしこれは十分条件ではない。$a_n\to 0$ でも発散することがある。

調和級数の発散

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$ は発散する。

$\frac{1}{n}\to 0$ だが、和は無限大に発散する。これを調和級数という。

収束・発散の例

p級数

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ は $p>1$ のとき収束、$p\le 1$ のとき発散する。

比較判定法

$0\le a_n\le b_n$ のとき、

例題

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$ の収束・発散を調べよ。

$\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$ であり、$\sum \frac{1}{n^2}$ は収束する。比較判定法より、$\sum \frac{1}{n^2+1}$ も収束する。