等比数列とは？等比数列の意味と性質、一般項と和の公式をわかりやすく解説

等比数列とは、同じ数をかけてできる数列です。等差数列は同じ数を足していきますが、等比数列は同じ数をかけていきます。例えば

$2, 6, 18, 54, \dots$

は初項 $2$ 、公比 $3$ の等比数列です。最初の数を初項といい、かけていく数を公比といいます。

$6 = 2 \times 3 18 = 6 \times 3 54 = 18 \times 3$

54 の次はいくつでしょうか？　この等比数列は 3 ずつかけていくため、 $54 \times 3 = 162$ が次の数になります。

等比数列を抽象的に考える

初項が $a$ で、公比が $r$ の等比数列を考えてください。

プリントにあるように $a, a r, a r^{2}$ と数が続きます。 $r$ の右肩についている数（次数）を見てください。 $3$ 番目の数は $r^{2}$ で、 $4$ 番目の数は $r^{3}$ となっています。

つまり $n$ 番目の次数は $n - 1$ です。この法則を理解すると、10 番目の数や 100 番目の数も計算できるようになります。実際、その計算が高校数学の等比数列で一番大切なところです。

一般項とは、n 番目の数を n で表したものです。等比数列の一般項（n 番目の数）は初項 a に r の n-1 乗をかけた数です。

（プリントの上だけを見てください）

等比数列の一般項

$a_{n} = a r^{n - 1} (r \neq = 1)$

等比数列の和の公式は 2 つあります。

$S_{n} = an (r = 1)$

$S_{n} = a \frac{1 - r ^{n}}{1 - r} (r \neq = 1)$

それぞれの公式をくわしく考えよう。

まずは公比が 1 のとき。つまり $r = 1$ のとき、等比数列の和 $S_{n}$ は

$S_{n} = an$

となります。ただし $a$ は等比数列の初項。初項が $1$ のときは等比数列のすべての項が $a$ になるので、その和は $a$ を $n$ 倍した値です。

等比数列の公比が 1 でないとき。

実際の数列を用いて、等比数列の和の公式

$S_{n} = a \frac{1 - r ^{n}}{1 - r} (r \neq = 1)$

が正しいことを確認しましょう。はじめに出てきた

$2, 6, 18, 54$

は、初項 2 で公比 3 の等比数列です。この等比数列の和は 2 + 6 + 18 + 54 = 80 です。

では、等比数列の和の公式を使って求めてみましょう。数は 4 つしかないので、n = 4 です。

$S_{4} = 2 \frac{1 - 3 ^{4}}{1 - 3} = 2 \times \frac{80}{2} = 2 \times 40 = 80$

となり、等比数列の和の公式が正しいことがわかりました。

（追記中）