三項間漸化式（aₙ₊₂ + paₙ₊₁ + qaₙ = 0 型）

三項間漸化式 $a_{n + 2} + p a_{n + 1} + q a_{n} = 0$ は、特性方程式を使って解く。

特性方程式

$x^{2} + p x + q = 0$ を特性方程式という。この2解を $α$ , $β$ とする。

$α \neq = β$ のとき、一般項は

$a_{n} = A α^{n} + B β^{n}$

の形になる。 $A$ , $B$ は初期条件 $a_{1}$ , $a_{2}$ から決める。

$α = β$ のとき、一般項は

$a_{n} = (A n + B) α^{n}$

の形になる。

$a_{1} = 1$ , $a_{2} = 5$ , $a_{n + 2} - 5 a_{n + 1} + 6 a_{n} = 0$ を解け。

特性方程式 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ より $(x - 2) (x - 3) = 0$ 、 $α = 2$ , $β = 3$ 。

$a_{n} = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$ とおく。

$a_{1} = 2 A + 3 B = 1$ , $a_{2} = 4 A + 9 B = 5$ より $A = - 1$ , $B = 1$ 。

よって $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。

$a_{1} = 1$ , $a_{2} = 4$ , $a_{n + 2} - 4 a_{n + 1} + 4 a_{n} = 0$ を解け。

特性方程式 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ より $(x - 2)^{2} = 0$ 、重解 $α = 2$ 。

$a_{n} = (A n + B) \cdot 2^{n}$ とおく。

$a_{1} = (A + B) \cdot 2 = 1$ , $a_{2} = (2 A + B) \cdot 4 = 4$ より $A = \frac{1}{4}$ , $B = \frac{1}{4}$ 。

よって $a_{n} = \frac{n + 1}{4} \cdot 2^{n} = (n + 1) \cdot 2^{n - 2}$ 。

フィボナッチ数列 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ は $a_{n + 2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0$ と書ける。特性方程式の解は $\frac{1 \pm 5}{2}$ （黄金比とその共役）である。