連立漸化式を和と差で解く（係数が対称でないときは片方を消す）

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ と $b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ のように、2 つの数列がたがいの値を使って進む形を連立漸化式といいます。 $a$ の次の項は $b$ なしに決まらず、 $b$ の次の項も $a$ なしには決まりません。

ところが 2 式を足すと、 $a$ と $b$ が同じ形にまとまる。

$a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n})$

引いたほうは、右辺の $b_{n}$ と $2 b_{n}$ が打ち消し合って別の関係が残る。

$a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$

和は公比 $3$ の等比数列、差はいつまでも変わらない数列。どちらも単独で解けます。

点は 1 本の直線に沿って進む

$a_{1} = 1$ 、 $b_{1} = 0$ から並べると、 $(a_{n}, b_{n})$ は $(1, 0)$ 、 $(2, 1)$ 、 $(5, 4)$ 、 $(14, 13)$ と動く。

差が変わらないから、点は直線 $b = a - 1$ の上から外れません。原点から見た遠さのほうは、和が $3$ 倍になるたびに $3$ 倍になる。

n	a(n) + b(n)	a(n) - b(n)
1	1	1
2	3	1
3	9	1
4	27	1

例：和と差で解く

$a_{1} = 1$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ を解きます。

和は初項 $a_{1} + b_{1} = 1$ 、公比 $3$ の等比数列。

$a_{n} + b_{n} = 3^{n - 1}$

差は初項 $a_{1} - b_{1} = 1$ のまま変わらない。

$a_{n} - b_{n} = 1$

2 式を足して $2$ で割れば $a_{n}$ 、引いて $2$ で割れば $b_{n}$ が決まる。

$a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$

$n = 3$ で確かめる。漸化式をたどると $a_{2} = 2$ 、 $b_{2} = 1$ 、 $a_{3} = 5$ 、 $b_{3} = 4$ 。一般項では $\frac{9 + 1}{2} = 5$ 、 $\frac{9 - 1}{2} = 4$ で、同じ値になりました。

指数の肩が $n$ ではなく $n - 1$ になる点だけ気をつけます。初項が $3^{0}$ にあたるため。

例：差の符号が入れかわる形

$a_{1} = 3$ 、 $b_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ を解く。

足すと $a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n})$ で、初項は $4$ 。

引くと $a_{n + 1} - b_{n + 1} = - (a_{n} - b_{n})$ となり、符号が毎回いれかわる。初項は $2$ です。

$a_{n} + b_{n} = 4 \cdot 3^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n - 1}$

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} + (- 1)^{n - 1}, b_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - (- 1)^{n - 1}$

$n = 2$ で確かめる。漸化式では $a_{2} = 3 + 2 = 5$ 、 $b_{2} = 6 + 1 = 7$ 。一般項では $6 - 1 = 5$ 、 $6 + 1 = 7$ 。

公比が $- 1$ でも等比数列であることに変わりはなく、扱い方も同じです。

係数が対称でないとき

和と差がきれいに動いたのは、 $a$ と $b$ の係数が入れかえても同じ並びだったからです。 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ では、足しても引いても $a$ と $b$ が残ってしまう。

そういうときは片方の数列を消す。

一方の式を a について解く

番号を 1 つ進めた式も用意する

もう一方へ代入して a を消す

残った b の三項間漸化式を解く

例：片方を消して三項間にする

$a_{1} = 1$ 、 $b_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ を解く。

2 つ目の式から $a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ 。番号を 1 つ進めた $a_{n + 1} = b_{n + 2} - b_{n + 1}$ も使い、1 つ目の式へ入れます。

$b_{n + 2} - b_{n + 1} b_{n + 2} - 4 b_{n + 1} + 4 b_{n} = 3 (b_{n + 1} - b_{n}) - b_{n} = 0$

$b$ だけの三項間漸化式になりました。特性方程式 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ は $(x - 2)^{2} = 0$ で、重解 $x = 2$ 。

重解のときは $b_{n + 1} - 2 b_{n}$ を作る。

$b_{n + 2} - 2 b_{n + 1} = 2 (b_{n + 1} - 2 b_{n})$

$b_{2} = a_{1} + b_{1} = 3$ だから $b_{2} - 2 b_{1} = - 1$ で、 $b_{n + 1} - 2 b_{n} = - 2^{n - 1}$ 。両辺を $2^{n + 1}$ で割ります。

$\frac{b _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} - \frac{b _{n}}{2 ^{n}} = - \frac{1}{4}$

$\frac{b _{n}}{2 ^{n}}$ が公差 $- \frac{1}{4}$ の等差数列になりました。初項は $\frac{b _{1}}{2} = 1$ 。

$\frac{b _{n}}{2 ^{n}} = 1 - \frac{n - 1}{4} = \frac{5 - n}{4}, b_{n} = \frac{( 5 - n ) \cdot 2 ^{n}}{4}$

$a_{n}$ は $b_{n + 1} - b_{n}$ に戻して求めます。

$a_{n} = \frac{( 4 - n ) \cdot 2 ^{n + 1}}{4} - \frac{( 5 - n ) \cdot 2 ^{n}}{4} = \frac{( 3 - n ) \cdot 2 ^{n}}{4}$

$n = 4$ で確かめる。一般項では $\frac{( - 1 ) \cdot 16}{4} = - 4$ 。漸化式では $a_{2} = 1$ 、 $a_{3} = 3 \cdot 1 - 3 = 0$ 、 $b_{3} = 4$ 、 $a_{4} = 0 - 4 = - 4$ で一致する。

$a_{n + 1} = 4 a_{n} + b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + 4 b_{n}$ のとき、 $a_{n} + b_{n}$ はどんな数列ですか。

公差 $5$ の等差数列
公比 $5$ の等比数列
公比 $4$ の等比数列
ずっと変わらない数列

__RESULT__

2 式を足すと $a_{n + 1} + b_{n + 1} = 5 (a_{n} + b_{n})$ になります。引いたほうは $3 (a_{n} - b_{n})$ で、差は公比 $3$ の等比数列です。

例：2 つの部屋を行き来する

ある動物が部屋 A と部屋 B を行き来します。1 日たつと、A にいたもののうち $80$ % が A に残り、B にいたもののうち $30$ % が A へ移る。

A にいる割合を $p_{n}$ 、B にいる割合を $q_{n}$ と置く。

$p_{n + 1} = 0.8 p_{n} + 0.3 q_{n}, q_{n + 1} = 0.2 p_{n} + 0.7 q_{n}$

割合なので $p_{n} + q_{n} = 1$ が使えます。 $q_{n} = 1 - p_{n}$ を入れると、 $q$ が消えて単独の漸化式になる。

$p_{n + 1} = 0.8 p_{n} + 0.3 (1 - p_{n}) = 0.5 p_{n} + 0.3$

特性方程式 $x = 0.5 x + 0.3$ から $x = 0.6$ 。はじめ全部が A にいたとして $p_{1} = 1$ とします。

$p_{n} = 0.6 + 0.4 \cdot 0. 5^{n - 1}$

$0.4 \cdot 0. 5^{n - 1}$ は日ごとに半分になるので、 $p_{n}$ は $0.6$ へ近づきます。出発点をどこにとっても行き先は同じで、 $0.6$ と $0.4$ の割合で落ちつく。

和と差を作る方法がうまくいかないとき、次に試すのはどれですか。

初項を変えてみる
一方の数列を他方で表して消し、三項間漸化式にする
両辺の逆数をとる
両辺を $n$ で割る

__RESULT__

片方を消すと、残った数列だけの三項間漸化式になります。あとは特性方程式で解けます。係数が対称でない場合の確実な手です。

係数が入れかえても同じ並びなら足し算と引き算、そうでなければ片方を消す。連立漸化式で最初に見るのは、 $a$ と $b$ の係数が対称かどうかです。

$a_{n+1} = 2a_n + b_n$、$b_{n+1} = a_n + 2b_n$ の 2 式を足すと和が公比 $3$ の等比数列になり、引くと差がずっと $1$ のまま動きません。点 $(a_n, b_n)$ が直線 $b = a - 1$ から外れないのはそのためです。係数が入れかえても同じ並びなら、この足し引きで絡みがほどける。そうでない $a_{n+1} = 3a_n - b_n$ の型では一方を代入して消し、残った三項間漸化式を重解の手順で解きます。2 つの部屋を行き来する割合が $0.6$ に落ちつくところまで。