因数分解は何から始めればいいか？まず共通因数をさがす

$2 x^{3} - 8 x$ を因数分解します。 $x^{3}$ の公式をさがす前に、 $2 x$ が両方の項にあることを見ます。

$2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4)$

かっこの中が $x^{2} - 4$ になりました。ここで 2 乗の差の形が現れます。

$2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x + 2) (x - 2)$

先に $2 x$ をくくらないと、 $x^{2} - 4$ は表に現れません。共通因数を落としたまま進むと、そこで止まります。

共通因数は次の一手を連れてくる

$6 x^{2} + 9 x$ なら $3 x$ が共通です。 $3 x (2 x + 3)$ と分かれます。

数の部分と文字の部分を別々に見ます。 $6$ と $9$ の最大公約数は $3$ 、 $x^{2}$ と $x$ に共通なのは $x$ 。

図では、たての長さが $3 x$ でそろっています。横の $2 x$ と $3$ を足せば、 $3 x (2 x + 3)$ という 1 つの長方形になります。

例：文字が 2 つある

$6 a^{2} b - 9 a b^{2}$ の数の部分は $6$ と $9$ で、最大公約数は $3$ 。文字は $a^{2} b$ と $a b^{2}$ に共通する $ab$ です。

$6 a^{2} b - 9 a b^{2} = 3 ab (2 a - 3 b)$

$a$ は 2 乗と 1 乗で現れています。共通なのは低いほうの 1 乗。指数の小さいほうにそろえます。

例：かっこごとくくる

$(x - 1)^{2} + 3 (x - 1)$ では、 $x - 1$ が両方の項にあります。文字 1 つと同じように扱えます。

$(x - 1)^{2} + 3 (x - 1) = (x - 1) {(x - 1) + 3} = (x - 1) (x + 2)$

かっこの中を計算して $x + 2$ になりました。 $x - 1$ をひとまとまりと見るところが、置き換えの入口です。

例：先頭が負のとき

$- 2 x^{2} + 8 x$ は $- 2 x$ でくくります。 $- 2 x (x - 4)$ です。

$2 x (- x + 4)$ と書いても値は同じですが、かっこの先頭が負になります。 $x^{2}$ の係数を正にそろえておくと、あとの公式が当てやすい。

$- x^{2} + 5 x - 6$ なら $- (x^{2} - 5 x + 6)$ と直してから、 $- (x - 2) (x - 3)$ です。

例：係数が分数

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x$ は $\frac{1}{2} x$ が共通です。 $\frac{1}{2} x (x - 3)$ になります。

$\frac{1}{2}$ を前へくくると、かっこの中が整数係数になる。分数のままでも因数分解はできます。

手順は 4 段

上から順に試します。当たったところで、その先はまた 1 段目に戻る。

共通因数をくくり出す

項の数を数えて公式を当てる

同じ式が 2 か所にあれば置きかえる

文字が 2 つ以上なら次数の低い文字で整理する

くくり出したあとのかっこの中も、もう一度この手順にかけます。 $2 x (x^{2} - 4)$ の $x^{2} - 4$ がその例です。

項の数で公式が絞れる

かっこの中がいくつの項でできているかを数えると、当てる公式が決まります。

項の数	当てる形	例
2 項	2 乗の差、立方の和と差	$x^{2} - 9$ 、 $x^{3} + 8$
3 項	平方の形、たすきがけ	$x^{2} - 6 x + 9$ 、 $3 x^{2} - 5 x - 2$
4 項	2 項ずつ組む	$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$

2 項なら $a^{2} - b^{2}$ か $a^{3} \pm b^{3}$ です。 $a^{2} + b^{2}$ は実数の範囲で分かれません。

3 項なら、まず $(x + p)^{2}$ の形かどうかを見ます。ちがえば、たすきがけへ進む。

例：2 項の式

$9 x^{2} - 16 y^{2}$ は $(3 x)^{2} - (4 y)^{2}$ です。2 乗の差の形になっています。

$9 x^{2} - 16 y^{2} = (3 x + 4 y) (3 x - 4 y)$

$2 x^{3} - 16$ なら、まず $2$ をくくって $2 (x^{3} - 8)$ 。かっこの中が立方の差です。

$2 (x^{3} - 8) = 2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

例：3 項の式

$x^{2} - 6 x + 9$ は $x^{2} - 2 \cdot 3 x + 3^{2}$ の形なので $(x - 3)^{2}$ です。

$3 x^{2} - 5 x - 2$ は平方の形になりません。 $3$ と $1$ 、 $- 2$ と $1$ の組でたすきがけが当たります。

$3 x^{2} - 5 x - 2 = (3 x + 1) (x - 2)$

展開すると $3 x^{2} - 6 x + x - 2$ で、 $x$ の項が $- 5 x$ 。合っています。

例：4 項の式

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ には共通因数がありません。前の 2 項と後ろの 2 項に分けて組みます。

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4)$

$x^{2} - 4$ がまだ分かれます。ここでもう一度、手順の 2 段目に戻る。

$(x + 1) (x + 2) (x - 2)$

$x + 1$ が両方に現れるかどうかで決まります。組み方をまちがえると、共通のかっこになりません。

$x^{3} - 4 x + x^{2} - 4$ のように並べ替えても、 $x (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) = (x^{2} - 4) (x + 1)$ となり、同じ答えにたどり着きます。

最後まで分かれているか

かっこの中がまだ分かれる形なら、因数分解は終わっていません。

2 乗の差の形が残っていないか。

共通因数が残っていないか。

3 項のかっこに、たすきがけが当たらないか。

係数に共通の数が残っていないか。

$4 x^{2} - 36$ を $(2 x + 6) (2 x - 6)$ で止めると、両方のかっこに $2$ が残ります。 $4 (x + 3) (x - 3)$ が最後の形です。

先に $4$ をくくって $4 (x^{2} - 9)$ とすれば、この形にまっすぐたどり着きます。共通因数を先にとる理由がここにもあります。

因数分解の答えは、これ以上分かれない形まで進めます。

かっこの中を見て、もう一度手順の 1 段目から当て直す。

展開して確かめる

分けたあとに展開すると、もとの式に戻るかどうかが見られます。

$(x + 1) (x + 2) (x - 2)$ なら、後ろ 2 つを先に計算して $(x + 1) (x^{2} - 4)$ 。展開して $x^{3} - 4 x + x^{2} - 4$ になり、もとの式と一致します。

項の数が合っているかだけでも、たいていの写しまちがいは見つかります。

展開で確かめる

すべての項が合うかを見る。時間はかかるが確実

x

に数を入れて確かめる

$x = 1$ などを両方に入れて値を比べる。速いが、たまたま合うことがある

よくある誤り

共通因数を最後に回すと、手数が増えるか、途中で止まります。

2 x^{3} - 8 x

を

2 x

でくくらず、

x^{3}

の公式をさがす。

4 x^{2} - 36

を

(2 x + 6) (2 x - 6)

で止める。

共通因数をくくったあと、かっこの中を見ない。

4 項の式で、組む相手をまちがえる。

x^{2} + 4

を

(x + 2) (x - 2)

と書く。和のほうは分かれない。

最後の 1 つは符号のとりちがえです。 $(x + 2) (x - 2)$ を展開すると $x^{2} - 4$ になります。

$3 x^{3} - 12 x$ を因数分解するとどれになりますか。

$3 x (x + 2) (x - 2)$
$3 x (x^{2} - 4)$
$(3 x + 6) (x - 2)$

__RESULT__

まず $3 x$ をくくって $3 x (x^{2} - 4)$ 、かっこの中が 2 乗の差なので $3 x (x + 2) (x - 2)$ まで分かれます。2 番目は途中で止めた形。

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ を 2 項ずつ組むと、共通になるかっこはどれですか。

$x - 2$
$x + 2$
$x - 3$

__RESULT__

$x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2)$ となり、 $x - 2$ が共通です。 $(x - 2) (x^{2} - 9) = (x - 2) (x + 3) (x - 3)$ まで分かれます。

共通因数を先にくくると、残ったかっこが小さくなって公式が見えます。分けたあとはかっこの中を読み直し、これ以上進めないところまで戻ります。

$2x^3 - 8x$ に $x^3$ の公式をさがす前に、$2x$ をくくります。かっこの中が $x^2 - 4$ になり、そこで 2 乗の差が現れる。先にくくらないと次の形が表に来ません。かっこの中の項の数で当てる公式が絞れること、4 項なら 2 項ずつ組むこと、$(2x+6)(2x-6)$ で止めると $2$ が残ること、$-2x^2 + 8x$ を $-2x$ でくくる理由まで。