2 乗の差を見つけると計算が消える、因数分解で最も使う公式

$99^2-1$ を筆算せずに求めます。$1=1^2$ なので、2 乗から 2 乗を引いた形です。

$$99^2-1^2=(99+1)(99-1)$$

$100\times 98=9800$。$99^2=9801$ を計算してから $1$ を引いても同じ値ですが、こちらは暗算で終わります。

引き算が 2 乗どうしなら、和と差の積に変わります。

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

面積で見ると組み替えている

1 辺 $a$ の正方形から、1 辺 $b$ の正方形を切りとります。残った図形の面積が $a^2-b^2$ です。

残った図形を横に切り、下の部分を右へ移します。たて $a-b$、横 $a+b$ の長方形になります。

切って並べ直しただけなので面積は変わりません。$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ が図で見えています。

係数がついていても同じ

$9x^2-25$ は $(3x{)}^2-5^2$ です。$a$ が $3x$、$b$ が $5$ にあたります。

$$9x^2-25=(3x+5)(3x-5)$$

$16x^2-49y^2$ なら $(4x{)}^2-(7y{)}^2$ で、$(4x+7y)(4x-7y)$。

係数が平方数かどうかを見ます。$9$、$16$、$25$、$36$、$49$、$64$、$81$、$100$ が並んでいたら、この形を疑う。

$a$ や $b$ が式でもよい

$a$ と $b$ は 1 文字とはかぎりません。かっこごと当てはめられます。

$(x+1{)}^2-4$ では、$a$ が $x+1$、$b$ が $2$ です。

$$\begin{array}{rl}(x+1{)}^2-2^2& =\{(x+1)+2\}\{(x+1)-2\}\\ & =(x+3)(x-1)\end{array}$$

展開して確かめると $x^2+2x+1-4=x^2+2x-3$ で、$(x+3)(x-1)$ と一致します。

4 項の式を 3 対 1 に組む

$x^2-6x+9-y^2$ は 4 項あります。前の 3 項が $(x-3{)}^2$ にまとまる。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-6x+9-y^2& =(x-3{)}^2-y^2\\ & =(x-3+y)(x-3-y)\end{array}$$

2 項ずつ組むと $x(x-6)+(9-y^2)$ となり、共通のかっこが現れません。組み方は 3 対 1 です。

$x^2-4y^2-2x+1$ も同じ形です。$x$ の項を集めて $(x^2-2x+1)-4y^2=(x-1{)}^2-(2y{)}^2$。

$$(x-1+2y)(x-1-2y)$$

例：4 乗の式

$x^4-16$ は $(x^2{)}^2-4^2$ です。1 回目で $(x^2+4)(x^2-4)$ に分かれます。

$x^2-4$ がもう一度分かれるので、そこで止めません。

$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$

$x^2+4$ は和の形なので、実数の範囲ではこれ以上分かれません。

和のほうは分かれない

$a^2+b^2$ は、実数の係数では 2 つの一次式に分かれません。$(a+b{)}^2$ は $a^2+2ab+b^2$ で、真ん中の項が余ります。

$x^2+9$ を $(x+3)(x-3)$ と書くと、展開して $x^2-9$ になります。符号が合いません。

数の計算に使う

2 乗の差は、数の計算でも手数を減らします。

連続する 2 つの整数の 2 乗の差は、その 2 数の和になります。$2024^2-2023^2=4047$。

差が $1$ なので $(a+b)\times 1$ が残るためです。$100^2-99^2=199$ も同じ理由。

有理化にも使う

分母に根号があるとき、$(a+b)(a-b)$ の形を作ると根号が消えます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ をかけます。

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$$

分母が $1$ になり、$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ が答えです。2 乗すると根号が外れることを使っています。

よくある誤り

和と差をとりちがえる形と、平方数の見落としが多い。

最後の 1 つは係数の平方根をとり忘れた形です。$a^2=4x^2$ なら $a=2x$。

引き算を見たら、両側が 2 乗になっていないかを見ます。なっていれば、そのまま和と差の積に書き替えられます。