3 つの立方の和から 3abc を引いた式は a + b + c で割り切れる

$a^3+b^3+c^3-3abc$ に $c=-(a+b)$ を入れます。つまり $a+b+c=0$ の場合です。

$$\begin{array}{rl}{c}^3& =-(a+b{)}^3=-a^3-3a^{2}b-3a{b}^2-b^3\\ -3abc& =3ab(a+b)=3a^{2}b+3a{b}^2\end{array}$$

足し合わせると $a^3+b^3-a^3-3a^{2}b-3a{b}^2-b^3+3a^{2}b+3a{b}^2=0$。全部消えました。

$a+b+c=0$ で $0$ になる式は、$a+b+c$ で割り切れます。

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

$a=2$、$b=1$、$c=0$ で確かめます。左辺は $8+1+0-0=9$、右辺は $3\times (4+1+0-2-0-0)=9$。

立方の和を 2 回使って導く

$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ という書き替えから始めます。$s=a+b$ と置きます。

$$\begin{array}{rl}{a}^3+b^3+c^3-3abc& =s^3-3abs+c^3-3abc\\ & =(s^3+c^3)-3ab(s+c)\end{array}$$

前のかっこに立方の和の公式を当てます。$s^3+c^3=(s+c)(s^2-sc+c^2)$。

$$(s+c)(s^2-sc+c^2)-3ab(s+c)=(s+c)(s^2-sc+c^2-3ab)$$

$s+c=a+b+c$ です。後ろのかっこに $s=a+b$ を戻します。

$$\begin{array}{rl}{s}^2-sc+c^2-3ab& =a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\\ & =a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{array}$$

$2ab$ と $-3ab$ が合わさって $-ab$ になりました。

後ろのかっこは平方の和で書ける

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ を $2$ 倍すると、3 つの平方に分かれます。

$$\begin{array}{rl}2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)& =(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\\ & =(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\end{array}$$

つまり後ろのかっこは $\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}$ です。

平方の和なので $0$ 以上。$0$ になるのは $a=b=c$ のときだけです。

例：$a+b+c=0$ のとき

条件が $a+b+c=0$ なら、前のかっこが $0$ です。左辺も $0$ になります。

$$a^3+b^3+c^3=3abc$$

$1+2+(-3)=0$ で確かめます。左辺は $1+8-27=-18$、右辺は $3\times 1\times 2\times (-3)=-18$。

3 つの数の和が $0$ なら、立方の和は積の $3$ 倍になります。

例：数で確かめる

$1^3+2^3+3^3-3\times 1\times 2\times 3$ を計算します。$1+8+27-18=18$ です。

公式で計算すると、$(1+2+3)(1+4+9-2-6-3)=6\times 3=18$。一致しました。

$a=b=c=1$ では後ろのかっこが $0$、$a+b+c=0$ では前のかっこが $0$ です。左辺もどちらの場合も $0$ になります。

例：文字と数が混ざる

$x^3+y^3+1-3xy$ を分けます。$1=1^3$ なので、$c=1$ の場合です。

$$(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$$

$ab$ にあたるのが $xy$、$bc$ が $y$、$ca$ が $x$。$c=1$ をかけるだけなので、文字が 1 つずつ残ります。

例：符号が混ざる

$x^3-8y^3+1+6xy$ を見ます。$-8y^3=(-2y{)}^3$ なので $b=-2y$ です。

$-3abc=-3\times x\times (-2y)\times 1=6xy$ となり、$+6xy$ の項と合います。

$$(x-2y+1)(x^2+4y^2+1+2xy+2y-x)$$

後ろのかっこは $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ に $b=-2y$ を入れた形です。$-ab=2xy$、$-bc=2y$、$-ca=-x$。

後ろのかっこは分かれない

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ は、平方の和の半分でした。実数の範囲で $0$ 以上の値しかとらない式は、1 次式 2 つの積には書けません。

$a$ の 2 次式と見て判別式を計算しても確かめられます。$a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)$ の判別式は次のとおり。

$$\begin{array}{rl}D& =(b+c{)}^2-4(b^2+c^2-bc)\\ & =-3b^2+6bc-3c^2\\ & =-3(b-c{)}^2\end{array}$$

$b\ne c$ なら負です。$b=c$ のときだけ $0$ になり、そこで重解になります。

よくある誤り

後ろのかっこの符号を写しまちがえる形が多い。

3 番目は 2 乗の符号です。$(-2y{)}^2=4y^2$ で、負にはなりません。

$-3abc$ という項が、3 つの立方の和を $a+b+c$ で割り切れる形にしています。$a+b+c=0$ を入れて $0$ になるかを見れば、この公式が当たるかどうかが決まります。