有理数の範囲か実数の範囲か！因数分解をどこまで進めるかの分かれ目

$x^{2} - 2$ を「因数分解できない」と答えるのは、係数を有理数に限ったときの話です。

実数まで使ってよいなら分かれます。 $2 = (2)^{2}$ と見れば、2 乗の差です。

$x^{2} - 2 = (x + 2) (x - 2)$

同じ式が、範囲によって分かれたり分かれなかったりします。「どこまで分けるか」は、係数にどの数を許すかで決まる。

分かれるかどうかは範囲つきで決まる

$x^{2} - 5 x + 6$ は $(x - 2) (x - 3)$ で、係数が整数のまま分かれます。範囲を広げても、これ以上細かくなりません。

$x^{2} - 2$ は有理数では止まり、実数で分かれます。 $x^{2} + 1$ は実数でも止まります。

内側の範囲で分かれる式は、外側でも分かれます。逆は成り立ちません。

有理数の範囲は判別式が平方数か

$a x^{2} + b x + c$ が有理数の係数で 2 つに分かれるのは、判別式が平方数のときです。

$x^{2} - 5 x + 6$ なら $D = 25 - 24 = 1$ で、 $1 = 1^{2}$ 。分かれます。

$x^{2} - 2$ なら $D = 0 + 8 = 8$ 。 $8$ は平方数ではないため、有理数では分かれません。

$8 = 22$ が無理数なので、解の公式に入れると根号が残ります。

範囲	分かれる条件	例
有理数	$D$ が平方数	$x^{2} - 5 x + 6$
実数	$D \geq 0$	$x^{2} - 2$
複素数	いつでも分かれる	$x^{2} + 1$

実数の範囲は判別式が $0$ 以上か

$D \geq 0$ なら、解の公式で求めた 2 つの実数を使って $(x - α) (x - β)$ と書けます。

$x^{2} - 4 x + 1$ は $D = 12$ で正です。解は $2 \pm 3$ 。

$x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2 - 3) (x - 2 + 3)$

展開すると $(x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4 x + 1$ で、もとの式に戻ります。

有理数の範囲では $D = 12$ が平方数でないため、ここまで進めません。

例： $x^{4} - 4$ を 3 段階で見る

まず 2 乗の差として分けます。有理数の係数のままです。

$x^{4} - 4 = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2)$

実数まで広げると $x^{2} - 2$ が分かれます。 $x^{2} + 2$ は $D = - 8$ で、実数では止まる。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$

複素数まで広げると $x^{2} + 2$ も分かれます。範囲を 1 つ上げるたびに、かっこが 1 つずつ増えました。

複素数まで使うと、 $n$ 次式は必ず $n$ 個の 1 次式の積になります。 $x^{4} - 4$ なら 4 つ。

実数では 2 次式が残ることがある

実数の係数に限ると、1 次式だけには分かれません。判別式が負の 2 次式が残ります。

$x^{2} + 1$ 、 $x^{2} + 2$ 、 $x^{2} - x + 1$ がその例です。どれも実数の範囲では最後の形。

逆にいえば、実数の範囲での因数分解は 1 次式と 2 次式だけで書けます。3 次以上のかっこが残ることはありません。

実数の範囲

1 次式と、判別式が負の 2 次式に分かれる。そこで止まる

複素数の範囲

すべて 1 次式に分かれる。次数の数だけかっこが並ぶ

例： $x^{4} + x^{2} + 1$

有理数の範囲で $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ に分かれます。どちらのかっこも判別式が $1 - 4 = - 3$ 。

実数まで広げても、この形のままです。範囲を広げれば必ず細かくなる、とはかぎりません。

分かれるかどうかは、そのつど判別式で確かめます。

例：3 次以上でも同じ

$x^{3} - 2$ は有理数では分かれません。実数なら $32$ を使えます。

$x^{3} - 2 = (x - 32) (x^{2} + 32 x + 34)$

立方の差の公式に $b = 32$ を当てた形です。 $b^{2} = 34$ になります。

後ろのかっこの判別式は $- 3 b^{2}$ で負なので、実数ではここまで。

断りがなければ内側の範囲

高校の問題で「因数分解せよ」とあれば、係数は整数か有理数の範囲で答えます。

$x^{2} - 3$ を $(x + 3) (x - 3)$ と書くのは、範囲の指定があるときだけです。

指定なし。整数や有理数の係数で分けて、そこで止める。

「実数の範囲で」とあれば、根号を使ってよい。

「複素数の範囲で」とあれば、

i

を使ってよい。

「

2

を用いて」のように、使ってよい数が書かれることもある。

問題文に範囲が書いてあれば、それに従います。書いていなければ内側でとどめる。

「これ以上分かれない」は、どの範囲での話かを決めてはじめて意味をもちます。

$x^{2} - 2$ は有理数では最後の形で、実数では途中の形。

整数と有理数はほとんど同じ

$x^{2} - \frac{1}{4}$ は有理数の係数で $(x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2})$ と分かれます。

全体を $4$ 倍すれば $4 x^{2} - 1 = (2 x + 1) (2 x - 1)$ で、整数の係数になります。分数は定数倍で消せる。

だから整数の範囲と有理数の範囲では、分かれるかどうかが変わりません。答えを書くときは整数係数にそろえます。

$2 x^{2} + 3 x + 1$ は $(2 x + 1) (x + 1)$ です。 $2 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)$ とも書けますが、整数の形を選びます。

例： $x^{4} + 4$

2 項しかないのに、有理数の係数で 2 つの 2 次式に分かれます。 $4 x^{2}$ を足して引くと平方の差になる。

$x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$

どちらのかっこも判別式が $4 - 8 = - 4$ です。実数の範囲では、ここが最後の形になります。

和の形だから分かれない、という見当は当てになりません。次数が上がると、平方の差に持ちこめることがあります。

$x^{2} + 1$	実数では分かれない
$x^{4} + 4$	有理数で 2 つの 2 次式に分かれる
$x^{2} - 2$	有理数では止まり、実数で分かれる
$x^{4} + x^{2} + 1$	有理数で分かれ、実数ではそこまで

よくある誤り

範囲を確かめずに根号を持ちこむ形と、逆に止めすぎる形があります。

指定がないのに

(x + 2) (x - 2)

と答える。

「実数の範囲で」とあるのに

x^{2} - 2

で止める。

D

が平方数かどうかを見ずに、因数分解できないと決める。

x^{2} + 1

を実数の範囲で分けようとする。

範囲を広げれば必ず細かくなると思う。

3 番目は $x^{2} - 5 x + 6$ のような式で起きます。 $D = 1$ が平方数なので、有理数の範囲で分かれます。

$x^{2} - 7$ を有理数の係数で因数分解できますか。

できる
できない
$x^{2}$ の係数によって変わる

__RESULT__

$D = 28$ で平方数ではないため、有理数の範囲では分かれません。実数まで広げると $(x + 7) (x - 7)$ です。

実数の範囲での因数分解で、残ることがあるのはどれですか。

判別式が負の 2 次式
3 次式
判別式が正の 2 次式

__RESULT__

判別式が正なら 2 つの 1 次式に分かれ、3 次以上はさらに分かれます。残るのは判別式が負の 2 次式だけです。

「因数分解できない」と書く前に、どの範囲の話かを確かめます。範囲が指定されていなければ、判別式が平方数かどうかがそのまま答えになります。

$x^2 - 2$ を「分かれない」と書けるのは、係数を有理数に限ったときだけです。実数まで使えば $(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。有理数なら判別式が平方数か、実数なら $0$ 以上か、で分かれ方が決まります。$x^4 - 4$ が範囲を 1 段広げるたびにかっこを 1 つ増やす様子、実数の範囲では判別式が負の 2 次式だけが残ること、範囲の指定がないときの答え方まで。