4 次式でも 2 つの 2 次式に分かれる〜平方の差に持ちこむ因数分解

$x^{4} + x^{2} + 1$ に $A = x^{2}$ を当てると $A^{2} + A + 1$ になります。判別式は $1 - 4 = - 3$ で、これ以上分かれません。

置きかえが当たらないので、別の道を通ります。 $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ なら $(x^{2} + 1)^{2}$ です。 $x^{2}$ を足して引きます。

$x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2}$

2 乗の差の形になりました。 $a$ が $x^{2} + 1$ 、 $b$ が $x$ です。

$(x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x) = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

展開して確かめます。 $(x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - x^{2} = x^{4} + x^{2} + 1$ で、もとの式に戻りました。

足りない分を足して、同じだけ引く

$x^{4} + □ x^{2} + 1$ の $□$ が $2$ なら、そのまま $(x^{2} + 1)^{2}$ です。 $2$ でなければ、 $2$ にするために足りない分を足します。

足したぶんは引いておきます。式の値を変えずに、形だけを平方に近づける手です。

引いた項が $x^{2}$ の平方数倍になっていれば、2 乗の差が当たります。

定数項の平方根をとって (x2 + p)2 の形を作る

足りない x2 の項を足して、同じだけ引く

引いた項が平方になっているか見る

2 乗の差として分ける

真ん中の行で $+ 2 x^{2}$ と $- x^{2}$ が並びます。合わせると $+ x^{2}$ で、もとの式と同じ値です。

例： $x^{4} + 4$

$x^{2}$ の項がありません。 $□ = 0$ の場合です。定数項 $4$ の平方根は $2$ なので、 $(x^{2} + 2)^{2}$ を作ります。

$(x^{2} + 2)^{2} = x^{4} + 4 x^{2} + 4$ なので、 $4 x^{2}$ が余分です。足して引きます。

$x^{4} + 4 = (x^{4} + 4 x^{2} + 4) - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} + 2 + 2 x) (x^{2} + 2 - 2 x)$

並べ直して $(x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$ です。どちらのかっこも判別式が $4 - 8 = - 4$ で、これ以上分かれません。

$x^{4} + 4$ は 2 項しかないのに、実数の範囲で 2 つの 2 次式に分かれます。和の形だから分かれない、とはかぎりません。

$x^{4} + x^{2} + 1$	$(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$
$x^{4} + 4$	$(x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)$
$x^{4} + 64$	$(x^{2} + 4 x + 8) (x^{2} - 4 x + 8)$
$x^{4} + 4 y^{4}$	$(x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}) (x^{2} - 2 x y + 2 y^{2})$

例： $x^{4} + 64$

定数項の平方根は $8$ です。 $(x^{2} + 8)^{2} = x^{4} + 16 x^{2} + 64$ なので、 $16 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} + 64 = (x^{2} + 8)^{2} - 16 x^{2} = (x^{2} + 8)^{2} - (4 x)^{2} = (x^{2} + 4 x + 8) (x^{2} - 4 x + 8)$

$16$ が平方数なので $4 x$ になりました。ここが平方数でなければ、この手は当たりません。

例： $x^{4} + 4 y^{4}$

文字が 2 つでも同じです。定数項にあたるのが $4 y^{4} = (2 y^{2})^{2}$ 。

$x^{4} + 4 y^{4} = (x^{2} + 2 y^{2})^{2} - 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + 2 y^{2})^{2} - (2 x y)^{2} = (x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}) (x^{2} - 2 x y + 2 y^{2})$

$4 x^{2} y^{2}$ の平方根が $2 x y$ です。 $x$ と $y$ の次数が 2 ずつそろっているので、きれいに分かれます。

引くほうの平方も試す

$x^{4} - 3 x^{2} + 1$ では、 $(x^{2} + 1)^{2}$ を作ると $- 3 x^{2} - 2 x^{2} = - 5 x^{2}$ を引くことになります。 $5$ は平方数ではありません。

$(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ のほうを試します。

$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{4} - 2 x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} - 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} - 1 + x) (x^{2} - 1 - x)$

$(x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1)$ です。定数項の平方根には $+ 1$ と $- 1$ の 2 通りがあるので、両方を試します。

定数項が $c^{2}$ のとき、作れる平方は $(x^{2} + c)^{2}$ と $(x^{2} - c)^{2}$ の 2 通りです。

片方で平方数にならなくても、もう片方で当たることがある。

置きかえが当たるかを先に見る

平方の差に持ちこむ前に、 $A = x^{2}$ の置きかえを試します。当たればそちらのほうが速い。

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$ なら $A^{2} - 5 A + 4 = (A - 1) (A - 4)$ です。判別式が $25 - 16 = 9$ で平方数なので分かれます。

$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)$

$x^{4} + x^{2} + 1$ は $A$ の判別式が負でした。そういうときに、平方の差へ回します。

A = x^{2}

と置く

$A$ の判別式が平方数なら当たる。2 つのかっこはどちらも $x$ の項をもたない

平方の差に持ちこむ

$A$ で分かれない式に使う。 $x$ の項をもつ 2 つのかっこに分かれる

分かれ方が違います。置きかえで分けると $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ のように $x$ の 1 次の項が現れません。

平方の差で分けると $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ のように、 $x$ の項が符号ちがいで並びます。

よくある誤り

足したまま引き忘れると、別の式になります。

x^{2}

を足すだけで、引くのを忘れる。

引いた項が平方数でないのに、無理に 2 乗の差として分ける。

(x^{2} - c)^{2}

のほうを試さずに、当たらないと決める。

分けたあとのかっこを、さらに分けようとして止まらない。

x^{4} + 4

は和の形だから分かれない、と決めてしまう。

4 番目は判別式で確かめます。 $x^{2} + 2 x + 2$ の判別式は $- 4$ で、実数の範囲ではここが終点です。

$x^{4} + 4 x^{2} + 16$ を因数分解するとどれになりますか。

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$
$(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$
$(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$

__RESULT__

定数項 $16$ の平方根は $4$ で、 $(x^{2} + 4)^{2} = x^{4} + 8 x^{2} + 16$ 。余分な $4 x^{2}$ を引くと $(x^{2} + 4)^{2} - (2 x)^{2}$ になります。

$x^{4} + x^{2} + 1$ で $A = x^{2}$ の置きかえが当たらないのはなぜですか。

$A^{2} + A + 1$ の判別式が負だから
$x^{4}$ が $A^{2}$ にならないから
定数項が $1$ だから

__RESULT__

$1 - 4 = - 3$ で負なので、 $A$ の 2 次式は実数の範囲で分かれません。そこで平方の差に持ちこみます。

$A = x^{2}$ で当たらなくても、そこで終わりではありません。定数項の平方根から $(x^{2} \pm c)^{2}$ を作り、余った項が平方になるかを見ます。

$x^4 + x^2 + 1$ に $A = x^2$ を当てても、判別式が $-3$ で分かれません。そこで $x^2$ を足して引き、$(x^2+1)^2 - x^2$ という平方の差にします。$x^4 + 4$ も $(x^2+2)^2 - (2x)^2$ から 2 つの 2 次式へ。定数項の平方根には $+c$ と $-c$ の 2 通りがあること、置きかえで分けたときとかっこの形が変わることまで扱いました。