共通部分を 1 文字に置きかえれば因数分解の形が見えてきます

$(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8$ には、 $x^{2} + 3 x$ が 2 か所あります。ここを $A$ と置きます。

$A^{2} - 2 A - 8 = (A - 4) (A + 2)$

$A$ を $x^{2} + 3 x$ に戻します。

$(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)$

まだ終わりません。どちらのかっこも 3 項なので、たすきがけが当たります。

$(x + 4) (x - 1) (x + 2) (x + 1)$

置きかえずに展開すると 4 次式になり、手がかりが消えます。同じ式が 2 か所にあるなら、まとめて 1 文字と見ます。

置きかえは 3 段で戻る

置いた文字は必ず戻します。戻したあとのかっこが、まだ分かれることも多い。

同じ式を 1 文字に置きかえる

その文字の式として因数分解する

もとの式に戻す

戻したかっこをもう一度因数分解する

3 段目で止めると、答えが $(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)$ のままになります。かっこの中を読み直して 4 段目まで進めます。

置きかえる相手の見つけ方

同じ式がそのまま 2 か所にある場合と、組み合わせを作って同じ形をそろえる場合があります。

(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8

のように、かっこがそのまま並んでいる。

x^{4} + 4 x^{2} + 3

のように、

x^{2}

を 1 文字と見る。

(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)

のように、かける順を変えると同じ形が作れる。

(x + y)^{2} - 4 (x + y) + 4

のように、2 文字のまとまりが並んでいる。

例： $x^{4} + 4 x^{2} + 3$

$x^{4} = (x^{2})^{2}$ なので、 $A = x^{2}$ と置きます。

$A^{2} + 4 A + 3 = (A + 1) (A + 3)$

戻して $(x^{2} + 1) (x^{2} + 3)$ 。どちらも和の形なので、実数の範囲ではここで終わりです。

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$ なら $(A - 1) (A - 4) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ となり、両方が 2 乗の差です。

$(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)$

同じ手順でも、戻したあとに分かれるかどうかは中身で決まります。

例： $(x + y)^{2} - 4 (x + y) + 4$

$A = x + y$ と置くと $A^{2} - 4 A + 4 = (A - 2)^{2}$ です。

$(x + y - 2)^{2}$

$x + y$ という 2 文字のまとまりも、1 文字と同じように扱えます。

例： $(2 x - 1)^{2} - (x + 3)^{2}$

2 乗の差の形です。 $a$ が $2 x - 1$ 、 $b$ が $x + 3$ にあたります。

${(2 x - 1) + (x + 3)} {(2 x - 1) - (x + 3)} = (3 x + 2) (x - 4)$

引くほうのかっこを外すときに符号が変わります。 $- (x + 3) = - x - 3$ で、 $2 x - 1 - x - 3 = x - 4$ 。

展開して確かめると $(4 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} + 6 x + 9) = 3 x^{2} - 10 x - 8$ 。 $(3 x + 2) (x - 4)$ と一致します。

例：かける順を変えて同じ形を作る

$(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1$ には、そのままでは同じ式がありません。組む相手を選びます。

両端どうしの $(x + 1) (x + 4)$ と、内側どうしの $(x + 2) (x + 3)$ を先に計算します。

$(x + 1) (x + 4) = x^{2} + 5 x + 4$ 、 $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ です。 $x^{2} + 5 x$ が共通になりました。

$A = x^{2} + 5 x$ と置きます。

$(A + 4) (A + 6) + 1 = A^{2} + 10 A + 24 + 1 = A^{2} + 10 A + 25 = (A + 5)^{2}$

戻すと $(x^{2} + 5 x + 5)^{2}$ です。 $x^{2} + 5 x + 5$ の判別式は $25 - 20 = 5$ で平方数ではないため、有理数の係数ではこれ以上分かれません。

組む順を $(x + 1) (x + 2)$ と $(x + 3) (x + 4)$ にすると、 $x^{2} + 3 x + 2$ と $x^{2} + 7 x + 12$ になります。 $x$ の係数がそろわず、共通部分が作れません。

4 つのかっこを組むときは、定数の和が等しくなるように選びます。

$1 + 4 = 2 + 3 = 5$ なので、この組み方だと $x$ の係数がそろう。

因数分解では範囲を書かない

方程式で $t = x^{2}$ と置くときは $t \geq 0$ という制限がつきました。因数分解では、この制限を書きません。

置きかえは式を書き替えているだけで、値を求めていないためです。 $A$ に戻した時点で、もとの式とまったく同じものになります。

方程式で置きかえる

$t$ の解を $x$ に戻す。 $t$ の動ける範囲を確かめてから戻す

因数分解で置きかえる

式を書き替えるだけ。範囲はいらず、最後に文字を戻す

例：3 か所に同じ式がある

$(x - 1)^{3} - 3 (x - 1)^{2} + 3 (x - 1) - 1$ を見ます。 $A = x - 1$ と置くと、係数が $1, - 3, 3, - 1$ です。

$A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - 1 = (A - 1)^{3}$

戻すと $(x - 1 - 1)^{3} = (x - 2)^{3}$ 。展開して確かめる手もありますが、置きかえたほうが速い。

よくある誤り

戻し忘れが、最も多く見られます。

A

のまま答えにする。

戻したあと、かっこの中を分けずに止める。

組む相手を選ばず、前から順にかけてしまう。

(2 x - 1)^{2} - (x + 3)^{2}

で、引くほうのかっこの符号を変えない。

置きかえた文字に

0

以上などの条件を書き足す。

3 番目は $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ で起きます。定数の和がそろう組み方を先に見ます。

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 11 (x^{2} - 2 x) + 24$ を因数分解した式はどれですか。

$(x - 3) (x + 1) (x - 4) (x + 2)$
$(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 8)$
$(x - 3) (x - 8)$

__RESULT__

$A = x^{2} - 2 x$ とすると $(A - 3) (A - 8)$ です。戻して $(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 8) = (x - 3) (x + 1) (x - 4) (x + 2)$ 。

$(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ で、共通部分が作れる組み方はどれですか。

$(x + 1) (x + 4)$ と $(x + 2) (x + 3)$
$(x + 1) (x + 2)$ と $(x + 3) (x + 4)$
$(x + 1) (x + 3)$ と $(x + 2) (x + 4)$

__RESULT__

定数の和が $5$ でそろうのは 1 番目です。 $x^{2} + 5 x + 4$ と $x^{2} + 5 x + 6$ になり、 $x^{2} + 5 x$ が共通になります。

同じ式が 2 か所にあれば置きかえる。並んでいなければ、組む相手を変えて同じ形を作る。置いた文字は最後に戻し、戻したかっこをもう一度読みます。

$(x^2+3x)^2 - 2(x^2+3x) - 8$ は $A = x^2 + 3x$ と置けば $(A-4)(A+2)$。戻したかっこがまだ 3 項なので、そこからさらに分かれます。$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$ のように並んでいない式でも、定数の和がそろう組み方を選べば共通部分が作れる。方程式の置きかえと違って範囲を書かない理由、戻し忘れと分け残しまで。