x と y が混ざった 2 次式のたすきがけ｜高校数学の因数分解

$2 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2}$ を分けます。 $y$ を数だと思って読むと、 $x$ についての 2 次式です。

$x^{2}$ の係数が $2$ 、 $x$ の係数が $5 y$ 、定数項が $3 y^{2}$ 。ふつうのたすきがけと同じ形になります。

$2 x^{2} + 5 x y + 3 y^{2} = (2 x + 3 y) (x + y)$

展開すると $2 x^{2} + 2 x y + 3 x y + 3 y^{2}$ で、真ん中が $5 x y$ 。合っています。

$y$ を数と見て組む

たすきがけでは、 $x^{2}$ の係数と定数項をそれぞれ 2 つに分け、斜めにかけて足します。 $y$ がついていても手順は変わりません。

$2 \times y = 2 y$ 、 $1 \times 3 y = 3 y$ 。足して $5 y$ になり、真ん中の項 $5 x y$ の係数と一致します。

横に読むと $(2 x + 3 y)$ と $(x + y)$ です。上の段が 1 つ目のかっこ、下の段が 2 つ目になります。

x2 の係数を 2 つの積に分ける

y2 の係数を 2 つの積に分ける

斜めにかけて足す

真ん中の係数と合えば、横に読む

例： $3 x^{2} - 7 x y + 2 y^{2}$

$3$ は $3 \times 1$ 、 $2 y^{2}$ は $- y \times (- 2 y)$ と分けます。真ん中が負なので、両方を負にとります。

$3 \times (- 2 y) = - 6 y$ 、 $1 \times (- y) = - y$ 。足して $- 7 y$ です。

$3 x^{2} - 7 x y + 2 y^{2} = (3 x - y) (x - 2 y)$

$2 y^{2}$ の分け方には $y \times 2 y$ もありますが、そちらだと真ん中が $+ 7 y$ になります。符号の組を先に決めます。

例： $6 x^{2} + x y - 12 y^{2}$

$6$ の分け方は $1 \times 6$ と $2 \times 3$ 、 $- 12$ の分け方は $\pm 1 \times \mp 12$ 、 $\pm 2 \times \mp 6$ 、 $\pm 3 \times \mp 4$ です。

組が多いので、真ん中が $+ 1$ という小さい値であることを手がかりにします。斜めの積が打ち消し合う組をさがす。

$2$ と $3$ 、 $3 y$ と $- 4 y$ を当てます。 $2 \times (- 4 y) = - 8 y$ 、 $3 \times 3 y = 9 y$ 。足して $y$ 。

$6 x^{2} + x y - 12 y^{2} = (2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$

外れの組では、斜めの和が $14 y$ や $- 34 y$ のように大きく離れます。真ん中の係数が小さいときは、斜めの積が近い値になる組を先に試します。

先頭が $1$ なら和と積だけ

$x^{2}$ の係数が $1$ のときは、たすきがけを組まなくても決まります。足して真ん中、かけて $y^{2}$ の係数になる 2 つをさがす。

$x^{2} - 5 x y + 6 y^{2}$ なら、足して $- 5$ 、かけて $6$ の組は $- 2$ と $- 3$ です。

$(x - 2 y) (x - 3 y)$

$y$ はそのままついてきます。 $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ と、形が対応しています。

$x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}$	$(x + y) (x + 2 y)$
$x^{2} - x y - 6 y^{2}$	$(x + 2 y) (x - 3 y)$
$2 x^{2} + 7 x y + 3 y^{2}$	$(2 x + y) (x + 3 y)$
$4 x^{2} - 9 y^{2}$	$(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$

最後の行は 2 乗の差です。真ん中の項がない式では、たすきがけを組まずに済みます。

例：係数に文字が入る

$x^{2} + (a + 1) x y + a y^{2}$ を分けます。 $y^{2}$ の係数が $a$ なので、 $1$ と $a$ に分けます。

斜めの和は $1 \times a + 1 \times 1 = a + 1$ 。真ん中と一致します。

$x^{2} + (a + 1) x y + a y^{2} = (x + y) (x + a y)$

$a$ が具体的な数でなくても、たすきがけは同じように働きます。

$x^{2} + y^{2}$ は分かれない

真ん中の項がなく、符号が両方とも正のときは分かれません。 $x^{2} + y^{2}$ を $(x + y)^{2}$ と書くと $2 x y$ が余ります。

$x^{2} - y^{2}$ なら 2 乗の差で分かれます。符号 1 つで扱いが変わる。

x^{2} - y^{2}

$(x + y) (x - y)$ に分かれる

x^{2} + y^{2}

実数の範囲では分かれない。 $x^{4} + y^{4}$ のように次数が上がると、平方の差に持ちこめる場合がある

展開して真ん中を見る

たすきがけが当たったかどうかは、展開して真ん中の項だけを確かめれば分かります。両端は組んだ時点で合っています。

$(2 x + 3 y) (3 x - 4 y)$ なら、 $2 x \times (- 4 y) = - 8 x y$ と $3 y \times 3 x = 9 x y$ 。足して $x y$ です。

全部を展開しなくても、この 2 つだけで確かめられます。

よくある誤り

$y$ を書き忘れる形と、符号の組をとりちがえる形が多い。

3 y

と書くべきところを

3

と書き、次数が合わなくなる。

2 y^{2}

の分け方で、符号の組を確かめずに進む。

斜めの積を足さずに、かけてしまう。

横ではなく縦に読んで、

(2 x + 1) (3 y - 4 y)

のような式を書く。

x^{2} + y^{2}

を

(x + y) (x - y)

と書く。

4 番目は読む向きのまちがいです。たすきがけの表は、横の行がそのまま 1 つのかっこになります。

$3 x^{2} + 5 x y - 2 y^{2}$ を因数分解するとどれになりますか。

$(3 x - y) (x + 2 y)$
$(3 x + y) (x - 2 y)$
$(3 x + 2 y) (x - y)$

__RESULT__

$3 \times 2 y = 6 y$ 、 $1 \times (- y) = - y$ 。足して $5 y$ になります。2 番目は符号を入れかえた組で、真ん中が $- 5 y$ 。

$x^{2} - 7 x y + 12 y^{2}$ を因数分解するとどれになりますか。

$(x - 2 y) (x - 6 y)$
$(x - 3 y) (x - 4 y)$
$(x + 3 y) (x + 4 y)$

__RESULT__

$x^{2}$ の係数が $1$ なので、足して $- 7$ 、かけて $12$ の組をさがします。 $- 3$ と $- 4$ です。

$y$ を数と見れば、2 文字でもたすきがけはそのまま通ります。組んだあとは斜めの和だけを確かめ、横に読んでかっこにします。

$2x^2 + 5xy + 3y^2$ は、$y$ を数だと思えば $x$ の 2 次式です。$x^2$ の係数と $y^2$ の係数をそれぞれ 2 つに分け、斜めにかけて足す。手順はふつうのたすきがけと変わりません。係数が大きい $6x^2 + xy - 12y^2$ で組を絞る見方、$x^2$ の係数が $1$ なら和と積だけで決まること、当たったかどうかを真ん中の項 2 つで確かめる形まで。

x と y が混ざった 2 次式のたすきがけ｜高校数学の因数分解

y を数と見て組む

例：3x2−7xy+2y2

例：6x2+xy−12y2

先頭が 1 なら和と積だけ