立方の和と差になぜ 3 項のかっこがつくのか？展開すれば分かる

$x^{3} - 8$ は $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ と分かれます。2 乗の差ならかっこの中が 1 次でしたが、こちらは 2 次で 3 項あります。

なぜ 3 項になるのかは、展開すれば見えます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8$

6 項できたうち、 $2 x^{2}$ と $- 2 x^{2}$ 、 $4 x$ と $- 4 x$ が消えます。残るのは両端の 2 項だけ。

真ん中の $2 x$ は、この打ち消しを起こすために置かれています。 $x^{2} + 4$ だけでは $4 x$ が残ってしまう。

打ち消しが 2 か所で起きる

文字で書くと $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ です。展開すると 6 項できます。

$a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$

$a^{2} b$ が $+$ と $-$ で 1 組、 $a b^{2}$ も 1 組。2 か所で打ち消し合い、 $a^{3} - b^{3}$ が残ります。

真ん中の $ab$ を消すと、 $(a - b) (a^{2} + b^{2}) = a^{3} + a b^{2} - a^{2} b - b^{3}$ となり、余分な 2 項が残ります。

符号は外と中で反対

和と差で 2 つの公式があります。並べて見ると、符号の位置だけが違う。

$a^{3} + b^{3} a^{3} - b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

前のかっこが $+$ なら中は $-$ 、前が $-$ なら中は $+$ です。 $b^{2}$ の前はどちらも $+$ 。

$a^{2}$ と $b^{2}$ の係数は $1$ で、 $2$ ではありません。 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ と混ざりやすいところです。

$a^{3} + b^{3}$	$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
$a^{3} - b^{3}$	$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$(a + b)^{2}$	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$

3 項のかっこは分かれない

$a^{2} - ab + b^{2}$ を $a$ の 2 次式と見て判別式を計算します。

$b^{2} - 4 b^{2} = - 3 b^{2}$

$b \neq = 0$ なら負です。実数の範囲では、このかっこはこれ以上分かれません。

だから $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ が最後の形になります。 $x^{2} + 2 x + 4$ の判別式は $4 - 16 = - 12$ 。

例： $8 x^{3} + 27$

$8 x^{3} = (2 x)^{3}$ 、 $27 = 3^{3}$ です。 $a$ が $2 x$ 、 $b$ が $3$ 。

$8 x^{3} + 27 = (2 x)^{3} + 3^{3} = (2 x + 3) {(2 x)^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}} = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$

$a^{2}$ は $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ です。 $2 x^{2}$ ではありません。 $a$ をまるごと 2 乗します。

例： $x^{3} - 64 y^{3}$

$64 y^{3} = (4 y)^{3}$ なので、 $a$ が $x$ 、 $b$ が $4 y$ 。

$x^{3} - 64 y^{3} = (x - 4 y) (x^{2} + 4 x y + 16 y^{2})$

$b^{2} = (4 y)^{2} = 16 y^{2}$ 、 $ab = x \cdot 4 y = 4 x y$ です。

8 = 2^{3}

、

27 = 3^{3}

、

64 = 4^{3}

、

125 = 5^{3}

。

8 x^{3} = (2 x)^{3}

、

27 y^{3} = (3 y)^{3}

。

x^{6} = (x^{2})^{3}

、

a^{9} = (a^{3})^{3}

。

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

。

立方数を見つけられるかどうかで、この公式が当たるかが決まります。

例： $x^{6} - 1$ は 2 通りの道がある

$x^{6} = (x^{3})^{2}$ とも $(x^{2})^{3}$ とも書けます。どちらから進んでも同じ答えにたどり着きます。

2 乗の差から入ると、 $(x^{3} - 1) (x^{3} + 1)$ です。それぞれに立方の公式を当てます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

立方の差から入ると $(x^{2} - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ になります。前は $(x + 1) (x - 1)$ 、後ろは平方の差に持ちこんで $(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

同じ 4 つのかっこが並びました。順序が違うだけです。

2 乗の差から入る

$(x^{3} - 1) (x^{3} + 1)$ に分かれる。そのあと立方の公式を 2 回使う

立方の差から入る

$(x^{2} - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ に分かれる。後ろは平方の差に持ちこむ

2 乗の差から入るほうが短くなります。次数の下がり方が大きいほうを先に使います。

数の計算に使う

$1001$ は $1 0^{3} + 1$ です。立方の和として分けられます。

$1 0^{3} + 1^{3} = (10 + 1) (100 - 10 + 1) = 11 \times 91$

$91 = 7 \times 13$ なので、 $1001 = 7 \times 11 \times 13$ 。素因数分解が公式から求められました。

$a^{3} + b^{3}$ の公式は、 $a + b$ が必ず因数になることを示しています。

$1 0^{3} + 1$ なら $11$ が、 $2^{3} + 1$ なら $3$ が因数になる。

例：共通因数を先にくくる

$2 x^{3} + 16$ の両方の項に $2$ があります。先にくくると、かっこの中が立方の和になる。

$2 x^{3} + 16 = 2 (x^{3} + 8) = 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$16$ は立方数ではありません。 $2$ をくくって $8$ にしてはじめて、 $2^{3}$ の形が現れます。

$3 x^{4} - 24 x$ なら $3 x (x^{3} - 8) = 3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ です。文字の共通因数も先にくくります。

例： $x^{6} - y^{6}$

$x^{6} = (x^{3})^{2} = (x^{2})^{3}$ で、 $y^{6}$ も同じです。2 乗の差から入ります。

$x^{6} - y^{6} = (x^{3} - y^{3}) (x^{3} + y^{3})$

それぞれに立方の公式を当てます。

$(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

4 つのかっこに分かれました。 $x = 1$ 、 $y = 1$ を入れると左辺は $0$ 、右辺も $x - y = 0$ で $0$ 。符号の写しまちがいがないことが見られます。

例：分数の立方

$x^{3} - \frac{1}{8}$ では $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ です。 $b$ が分数でも同じように当てます。

$x^{3} - \frac{1}{8} = (x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4})$

$b^{2} = \frac{1}{4}$ 、 $ab = \frac{1}{2} x$ 。両辺を $8$ 倍すると $8 x^{3} - 1 = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$ になり、整数係数の形とつながります。

補足： $a^{n} - b^{n}$ はいつも $a - b$ で割れる

2 乗の差にも立方の差にも $a - b$ が現れました。これは次数が上がっても続きます。

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

。

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

。

a^{4} - b^{4} = (a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3})

。

a^{5} - b^{5} = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4})

。

かっこの中の項数が、次数と同じだけ並びます。 $a$ の次数が 1 つずつ下がり、 $b$ の次数が 1 つずつ上がる。

$x^{5} - 32$ なら $b = 2$ です。 $(x - 2) (x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16)$ 。

和のほうは、次数が奇数のときだけ $a + b$ で割れます。 $a^{3} + b^{3}$ は分かれ、 $a^{2} + b^{2}$ は分かれない。 $a^{4} + b^{4}$ も $a + b$ では割れません。

よくある誤り

真ん中の係数を $2$ にする形が、最も多く見られます。

a^{2} - 2 ab + b^{2}

と書く。立方の公式では係数が

1

。

外のかっこと中の符号を同じにする。

8 x^{3}

の

a

を

2 x

ではなく

8 x

とする。

(2 x)^{2}

を

2 x^{2}

と書く。

3 項のかっこをさらに分けようとする。

5 番目は判別式で止まります。 $4 x^{2} - 6 x + 9$ の判別式は $36 - 144 = - 108$ で負です。

$27 x^{3} - 8$ を因数分解するとどれになりますか。

$(3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$
$(3 x - 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)$
$(3 x - 2) (3 x^{2} + 6 x + 4)$

__RESULT__

$a = 3 x$ 、 $b = 2$ です。差の公式なので中の符号は $+$ 、 $a^{2} = 9 x^{2}$ 、 $ab = 6 x$ 、 $b^{2} = 4$ になります。

$x^{3} + 125$ の因数のうち、1 次式はどれですか。

$x + 5$
$x - 5$
$x + 25$

__RESULT__

$125 = 5^{3}$ なので $a = x$ 、 $b = 5$ 。和の公式では前のかっこが $a + b$ になり、 $x + 5$ です。

3 項のかっこは、展開したときに 4 項が消えるように作られた形です。符号を忘れたら、 $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ を展開して確かめられます。

$(x-2)(x^2+2x+4)$ を展開すると 6 項できて、そのうち 4 項が打ち消し合います。真ん中の $2x$ は、この打ち消しを起こすための項。$a^2 \pm ab + b^2$ の判別式は $-3b^2$ で負なので、3 項のかっこはそれ以上分かれません。$8x^3 + 27$ で $a$ を $2x$ ととる形、$x^6 - 1$ を 2 通りの道で分ける形、$1001 = 7 \times 11 \times 13$ が公式から求まることまで。