文字が 2 つ以上あるときは、次数の低い文字について整理する

$x^2+xy+2x+y+1$ には $x$ と $y$ があります。$x$ は 2 次、$y$ は 1 次です。

次数の低い $y$ について並べ直します。$y$ を含む項は $xy$ と $y$ の 2 つ。

$$y(x+1)+(x^2+2x+1)$$

後ろのかっこが $(x+1{)}^2$ になりました。$x+1$ が両方に現れます。

$$(x+1)y+(x+1{)}^2=(x+1)(y+x+1)$$

答えは $(x+1)(x+y+1)$ です。展開すると $x^2+xy+x+x+y+1$ で、もとの式に戻ります。

低い次数の文字から見る

$x$ について整理すると $x^2+(y+2)x+(y+1)$ となり、2 次式のたすきがけを考えることになります。

$y$ について整理すれば 1 次式です。$y$ の係数をくくり出すだけで進みます。

答えは変わりません。変わるのは手数です。1 次なら共通因数を見るだけで済みます。

例：$xy-x-y+1$

$x$ も $y$ も 1 次です。どちらでも同じ手数なので、$x$ で整理します。

$$\begin{array}{rl}xy-x-y+1& =x(y-1)-(y-1)\\ & =(y-1)(x-1)\end{array}$$

後ろの $-y+1$ は $-(y-1)$ と書き替えます。符号をくくり出すと $y-1$ がそろう。

$y$ で整理しても $y(x-1)-(x-1)=(x-1)(y-1)$ となり、同じ答えです。

例：$x^2+3xy+2y^2-x-3y-2$

$x$ は 2 次、$y$ も 2 次です。次数が同じときは、どちらかを選んで整理します。

$x$ について降べきの順に並べます。

$$x^2+(3y-1)x+(2y^2-3y-2)$$

定数項にあたる $2y^2-3y-2$ を先に分けます。$(2y+1)(y-2)$ です。

$x$ の係数 $3y-1$ が、$(y-2)+(2y+1)$ になっています。たすきがけが当たる形。

$$(x+y-2)(x+2y+1)$$

展開すると $x^2+2xy+x+xy+2y^2+y-2x-4y-2$ で、整理すれば $x^2+3xy+2y^2-x-3y-2$。

定数項を先に分ける

2 文字の 6 項の式では、この順で進みます。定数項が分かれないと、たすきがけの相手が見つかりません。

$2x^2+5xy+3y^2+4x+5y+2$ でも同じです。$x$ について整理します。

$$2x^2+(5y+4)x+(3y^2+5y+2)$$

定数項は $(3y+2)(y+1)$。$2x^2$ の $2$ を $2$ と $1$ に分け、たすきがけを組みます。

$$(2x+3y+2)(x+y+1)$$

$x$ の係数を確かめます。$2\times (y+1)+1\times (3y+2)=2y+2+3y+2=5y+4$。合っています。

3 段目で $(3y+2)(y+1)$ が現れたところが分かれ目です。ここが分かれなければ、この式は 2 つの一次式には分かれません。

例：次数がそろっている 3 項

$x^2+2xy+y^2-1$ では、$x$ も $y$ も 2 次です。ただし前の 3 項が平方にまとまります。

$$\begin{array}{rl}{x}^2+2xy+y^2-1& =(x+y{)}^2-1\\ & =(x+y+1)(x+y-1)\end{array}$$

整理する前に、まとまる部分がないかを見ます。まとまれば、2 乗の差が当たることがあります。

例：文字が 3 つある

$abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$ を分けます。$a$、$b$、$c$ はどれも 1 次です。

$a$ について整理します。$a$ を含む項は $abc$、$ab$、$ca$、$a$ の 4 つ。

$$\begin{array}{rl}& a(bc+b+c+1)+(bc+b+c+1)\\ & =(a+1)(bc+b+c+1)\end{array}$$

後ろのかっこをさらに分けます。$b$ について整理して $b(c+1)+(c+1)=(b+1)(c+1)$。

$$(a+1)(b+1)(c+1)$$

同じ手を 2 回使いました。文字が増えても、1 つずつ整理していけば進みます。

よくある誤り

次数の高い文字で整理して、たすきがけに手間どる形が多い。

3 番目は符号のくくり出しです。$x(y-1)-y+1$ で止めると、$y-1$ が 1 つしか見えません。

文字が増えたら、まず次数を数えます。低いほうで整理すれば、共通因数か、分かれた定数項が見えます。