交代式は必ず差の積を因数にもつ……対称式との違いはどこか

$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$ を分けます。展開すると 6 項になり、共通因数もありません。

$x$ に $y$ を入れてみます。$y^2(y-z)+y^2(z-y)+z^2(y-y)$ となり、前の 2 項が打ち消し合って $0$ です。

$x=y$ で $0$ になる式は $x-y$ で割り切れます。同じように $y=z$ でも $z=x$ でも $0$ になる。

$$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)$$

$x=2$、$y=1$、$z=0$ を入れると、左辺は $4-2+0=2$。右辺は $-(1)(1)(-2)=2$ で一致します。

2 文字を入れかえると符号が変わる

この式の $y$ と $z$ を入れかえます。$x^2(z-y)+z^2(y-x)+y^2(x-z)$ です。

もとの式と見比べると、かっこの中がすべて反対になっています。全体では $-1$ 倍。

入れかえで符号が変わる式を交代式といいます。入れかえても変わらない式が対称式です。

$x=y$ で $0$ になる

交代式では、$x$ と $y$ を入れかえると全体が $-1$ 倍になります。ここで $x=y$ とすると、入れかえても式は変わりません。

同じ式が $-1$ 倍に等しいので、$P=-P$。これを満たすのは $P=0$ だけです。

$$P=-P\Rightarrow 2P=0\Rightarrow P=0$$

$x=y$ を入れると $0$ になる式は、$x-y$ で割り切れます。だから交代式には必ず $x-y$ が現れる。

文字が 3 つあれば、$x-y$、$y-z$、$z-x$ の 3 つとも因数になります。

次数で残りが決まる

冒頭の式は 3 次でした。$(x-y)(y-z)(z-x)$ も 3 次です。次数が同じなので、残るのは定数だけ。

その定数を決めるには、適当な数を入れて比べます。$x=2$、$y=1$、$z=0$ なら左辺が $2$、$(x-y)(y-z)(z-x)$ が $-2$。

商は $-1$ です。答えは $-(x-y)(y-z)(z-x)$ になります。

例：4 次の交代式

$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$ は 4 次です。差の積は 3 次なので、残りは 1 次。

3 文字について対称な 1 次式は $x+y+z$ の定数倍しかありません。交代式を交代式で割ると、商は対称式になるためです。

$$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$$

$x=2$、$y=1$、$z=0$ を入れます。左辺は $8-2+0=6$、右辺は $k\times 1\times 1\times (-2)\times 3=-6k$。

$k=-1$ です。

$$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$$

例：2 文字の交代式

$x^3-y^3$ で $x$ と $y$ を入れかえると $y^3-x^3$ で、符号が反対です。交代式なので $x-y$ が因数になります。

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

残った $x^2+xy+y^2$ は対称式です。入れかえても同じ式に戻ります。

$x^4-y^4$ なら $(x-y)(x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3)$。後ろのかっこも対称式になっています。

差の並べ方をそろえる

$(x-y)(y-z)(z-x)$ は、文字が $x\to y\to z\to x$ と順に回る形です。この並びに統一しておくと、符号のとりちがえが減ります。

$(x-y)(y-z)(x-z)$ と書くと、最後だけ向きが反対です。$x-z=-(z-x)$ なので、全体の符号が変わります。

答えを書くときは、回る並びにそろえてから前の符号を決めます。

対称式のほうは差の積をもたない

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ は対称式です。どの 2 文字を入れかえても同じ式に戻ります。

$x=y$ を入れると $z^2-2yz+y^2=(y-z{)}^2$ で、$0$ にはなりません。$x-y$ で割り切れないということです。

対称式だから差の積をもたない、と決まるわけではありません。$0$ になるかどうかで判断します。

よくある誤り

符号の決め方でつまずく形が多い。

4 番目は前の符号が決まりません。$x=2$、$y=1$、$z=0$ のように、計算しやすい値を選んで比べます。

入れかえて符号が変わるかを先に見ます。変われば差の積が因数だと分かり、あとは次数と代入で残りを決めるだけです。