$L^p$ 空間の完備性

$L^p$ 空間がノルムに関して完備であること、すなわちバナッハ空間であることは、関数解析における $L^p$ 空間の有用性を支える基本的な事実である。

完備性の主張

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とし、$1\le p\le \infty$ とする。$L^p(X,\mu )$ は $\Vert \cdot {\Vert }_p$ に関して完備である。すなわち、任意のコーシー列は $L^p$ 内の元に収束する。

$1\le p<\infty$ の場合の証明

$\{f_n\}$ を $L^p$ のコーシー列とする。部分列 $\{f_{n_k}\}$ で

$$\Vert f_{n_{k+1}}-f_{n_k}{\Vert }_p<2^{-k}$$

を満たすものをとる。

$$g=|f_{n_1}|+\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|$$

とおく。ミンコフスキーの不等式から

$$\Vert g{\Vert }_p\le \Vert f_{n_1}{\Vert }_p+\sum _{k=1}^{\infty }\Vert f_{n_{k+1}}-f_{n_k}{\Vert }_p<\Vert f_{n_1}{\Vert }_p+1<\infty$$

したがって $g\in L^p$ であり、$g(x)<\infty$ a.e. である。

$g(x)<\infty$ なる点 $x$ では、級数 $f_{n_1}(x)+{\sum }_k(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x))$ は絶対収束するので、

$$f(x)=\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_{n_k}(x)$$

が存在する。$|f|\le g$ より $f\in L^p$ である。

優収束定理により $\Vert f_{n_k}-f{\Vert }_p\to 0$ が得られる。$\{f_n\}$ がコーシー列であることから、部分列だけでなく列全体が $f$ に収束する。

$p=\infty$ の場合

$\{f_n\}$ を $L^{\infty }$ のコーシー列とする。任意の $\epsilon >0$ に対し、十分大きい $m,n$ で $\Vert f_m-f_n{\Vert }_{\infty }<\epsilon$ となる。

各 $m,n$ について $|f_m(x)-f_n(x)|\le \Vert f_m-f_n{\Vert }_{\infty }$ が a.e. で成り立つ。高々可算個の例外集合の和も測度 0 なので、ある測度 0 の集合 $N$ の外で $\{f_n(x)\}$ は一様コーシー列である。

$N^c$ 上で $f(x)={\lim }_n{f}_n(x)$ と定め、$N$ 上では $f=0$ とする。一様収束から $f\in L^{\infty }$ かつ $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\to 0$ が従う。

リース・フィッシャーの定理

$L^p$ の完備性はリース・フィッシャーの定理とも呼ばれる。歴史的には、フーリエ級数の収束に関連して発見された。

$\{c_n\}$ を ${\ell }^2$ に属する複素数列とするとき、

$$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{inx}$$

は $L^2([0,2\pi ])$ に収束し、$c_n$ は $f$ のフーリエ係数に一致する。この事実は $L^2$ の完備性から従う。

完備性の応用

完備性は関数解析の基本定理の適用を可能にする。

• バナッハの不動点定理による積分方程式の解の存在と一意性
• 一様有界性原理（バナッハ・シュタインハウスの定理）
• 開写像定理と閉グラフ定理
• ハーン・バナッハの拡張定理

これらの定理は完備ノルム空間（バナッハ空間）を前提とするため、$L^p$ の完備性は本質的である。