コーシー列に行き先がある（Lp 空間の完備性とリース・フィッシャー）

$1\le p\le \infty$ のとき、$L^p(X)$ はノルム $\Vert \cdot {\Vert }_p$ について完備です^[1]。コーシー列には必ず $L^p$ の中に行き先がある、という主張。

$$\Vert f_j-f_k{\Vert }_p\to 0(j,k\to \infty )⟹\exists f\in L^p:\Vert f_k-f{\Vert }_p\to 0$$

ノルム空間で完備なものをバナッハ空間といいます。$L^p$ がバナッハ空間になる、と言い換えられる^[4]。

リース・フィッシャーの定理と呼ばれます。リースとフィッシャーが 1907 年にそれぞれ独立に示しました^[1]。

完備でないと何が困るか

コーシー列に極限があるかどうかが、空間の使いやすさを決める。極限が外へ出てしまうなら、近似で作った対象がその空間の元だと言えません。

リーマン積分可能な関数の全体を $\Vert \cdot {\Vert }_1$ で測ると、完備になりません。有理数を 1 点ずつ足していく列がコーシー列で、極限がディリクレ関数になるから^[3]。

ルベーグ積分に移ってはじめて、この穴が埋まります。完備性は測度論を採る動機のひとつ。

証明の道筋

$1\le p<\infty$ で見ます。まず部分列を選び直して、差のノルムが急速に小さくなるようにする^[3]。

$$\Vert f_{k_{j+1}}-f_{k_j}{\Vert }_p\le \frac{1}{2^j}$$

コーシー列なので、こういう選び方ができる。差を $g_j=f_{k_{j+1}}-f_{k_j}$ と置くと、ノルムの級数が収束する。

つぎに ${\sum }_j|g_j|$ を考えます。非負なので単調収束定理が使え、ミンコフスキーの不等式と合わせるとこの和の $L^p$ ノルムが有限だと分かる。

$$\Vert \sum _{j=1}^{\infty }|g_j|{\Vert }_p\le \sum _{j=1}^{\infty }\Vert g_j{\Vert }_p<\infty$$

$L^p$ ノルムが有限なら、値は a.e. で有限。だから ${\sum }_j{g}_j$ は a.e. で絶対収束する。

その和に $f_{k_1}$ を足したものを $f$ と定めます。部分和がちょうど $f_{k_j}$ なので、部分列は a.e. で $f$ に収束する。

最後に $L^p$ での収束を言います。$|f-f_{k_j}{|}^p$ を $({\sum }_j|g_j|{)}^p$ で押さえられるので、優収束定理が使える^[3]。

もとの列がコーシーなので、部分列が収束すれば全体も同じ極限に落ち着く。これで完備性が出ました。

例：完備でないノルム空間

穴があく様子を、具体的な空間で見ておく。$[0,1]$ 上の連続関数の全体に $\Vert \cdot {\Vert }_1$ を入れると、完備になりません。

真ん中で $0$ から $1$ へ立ち上がる関数を、傾きを急にしながら並べます。$n$ 番目は幅 $1/n$ の区間だけで斜めに上がり、外では $0$ か $1$。

差のノルムは重なっていない部分の面積で、$n,m$ が大きいほど小さくなります。だからコーシー列。

ところが極限は $x>1/2$ で $1$、$x<1/2$ で $0$ をとる階段関数で、連続ではありません。極限が空間の外へ出ています。

$L^1$ まで広げると、この階段関数もちゃんと元として入ります。完備化とは、こうした穴を埋める操作のこと。

$p=\infty$ は別に扱う

本質的上限のノルムでは、積分を使う議論が通りません。代わりに零集合を数え上げます^[3]。

各組 $(j,k)$ と各 $m$ について、$|f_j-f_k|<1/m$ が成り立たない点の集まりは零集合です。これらを全部合わせても、可算個なのでまた零集合。

その外側では $f_k(x)$ が実数のコーシー列になり、各点で収束します。極限を $f$ と定めると、評価が一様なので $L^{\infty }$ の意味でも収束する^[3]。

可算個の零集合を合わせても零集合、という性質がここで効いています。非可算個だと合併が零集合とは限らず、この議論は通りません。

系：a.e. 収束する部分列がとれる

証明の途中で出てきた事実を、独立に書き出しておきます^[3]。

$1\le p<\infty$ で $f_k\to f$ が $L^p$ で成り立つとき、a.e. で $f$ に収束する部分列 $\{f_{k_j}\}$ がとれる。

$L^p$ 収束と a.e. 収束は別の概念ですが、部分列を選ぶ自由があれば橋がかかります。証明でよく使う道具。

全体が a.e. 収束するとは限らない

部分列でしか言えないのはなぜか。全体が a.e. 収束しない例があるからです^[3]。

$[0,1]$ の上で、区間を走査する列を作ります。まず $[0,1]$、つぎに $[0,1/2]$ と $[1/2,1]$、つぎに 4 等分した区間を順に、という具合。

それぞれの指示関数を並べると、$L^p$ ノルムは区間の長さの $1/p$ 乗なので $0$ に落ちます。ところがどの点でも、$1$ をとる番号と $0$ をとる番号が無限に交互に現れる。

各点で振動し続けるので、収束する点がひとつもありません。それでも $L^p$ では $0$ に収束しています。

この列から部分列を選び直すと、a.e. 収束するものがとれます。たとえば各段の最初の区間だけを拾えば、$0$ へ落ちる場所が増えていく。

完備性から出てくるもの

完備であることは、いくつもの道具の前提になります。

級数の判定がそのひとつ。${\sum }_k\Vert f_k{\Vert }_p<\infty$ なら ${\sum }_k{f}_k$ が $L^p$ で収束します^[3]。絶対収束から収束が出るのは、完備な空間に限った話。

縮小写像の不動点定理も完備性を要求します。積分方程式の解の存在を $L^p$ の中で言うとき、この形が効いてくる。

$p=2$ なら内積が入るので、完備性と合わせてヒルベルト空間になります^[2]。直交射影が存在するのは、完備であることの帰結です。

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よくある誤り

参考文献