$L^2$ 空間とヒルベルト空間構造

$L^2$ 空間は $L^p$ 空間の中でも特別な位置を占める。内積が定義でき、ヒルベルト空間の構造を持つため、直交性や射影といった幾何学的な概念が利用できる。

$L^2$ 空間の内積

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とする。$L^2(X,\mu )$ 上の内積を

$$⟨f,g⟩={\int }_{X}f\overline{g}d\mu$$

と定義する。ここで $\overline{g}$ は $g$ の複素共役である。実数値関数の場合は単に $⟨f,g⟩=\int fgd\mu$ となる。

この内積は次の性質を満たす：

• $⟨f,f⟩\ge 0$、等号成立は $f=0$ a.e. のとき
• $⟨f,g⟩=\overline{⟨g,f⟩}$
• $⟨\alpha f+\beta g,h⟩=\alpha ⟨f,h⟩+\beta ⟨g,h⟩$

$L^2$ ノルムは内積から $\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{⟨f,f⟩}$ として導かれる。

ヒルベルト空間としての $L^2$

$L^2$ 空間は完備な内積空間、すなわちヒルベルト空間である。完備性は $L^p$ 空間の一般論から従い、内積の存在が $p=2$ の特別な性質である。

$p\ne 2$ のとき、$L^p$ ノルムは一般に内積から導かれない。内積から導かれるノルムは平行四辺形の等式

$$\Vert f+g{\Vert }^2+\Vert f-g{\Vert }^2=2(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)$$

を満たすが、これは $p=2$ でのみ成り立つ。

直交性

$f,g\in L^2$ が直交するとは $⟨f,g⟩=0$ のことである。$f\perp g$ と書く。

集合 $S\subset L^2$ の直交補空間は

$$S^{\perp }=\{g\in L^2:⟨f,g⟩=0(\forall f\in S)\}$$

で定義される。$S^{\perp }$ は $L^2$ の閉部分空間である。

射影定理

$M$ を $L^2$ の閉部分空間とする。任意の $f\in L^2$ に対し、$M$ の元で $f$ に最も近いものが一意に存在する。すなわち、

$$\Vert f-g\Vert =\underset{h\in M}{\min }\Vert f-h\Vert$$

を満たす $g\in M$ が一意に存在する。この $g$ を $f$ の $M$ への直交射影といい、$P_{M}f$ と書く。

$f-P_{M}f\in M^{\perp }$ が成り立ち、$f=P_{M}f+(f-P_{M}f)$ は $M$ と $M^{\perp }$ への直交分解を与える。

正規直交系

$L^2$ の元の族 $\{e_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ が正規直交系であるとは、

$$⟨e_{\alpha },e_{\beta }⟩={\delta }_{\alpha \beta }=\{\begin{array}{ll}1& (\alpha =\beta )\\ 0& (\alpha \ne \beta )\end{array}$$

を満たすことである。

正規直交系 $\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ に対し、$f\in L^2$ のフーリエ係数を $c_n=⟨f,e_n⟩$ と定める。ベッセルの不等式

$$\sum _{n=1}^{\infty }|c_n{|}^2\le \Vert f{\Vert }_2^2$$

が常に成り立つ。

完全正規直交系

正規直交系 $\{e_n\}$ が完全（または全）であるとは、$⟨f,e_n⟩=0$（$\forall n$）ならば $f=0$ となることである。

完全正規直交系に対しては、ベッセルの不等式で等号が成り立つ（パーセヴァルの等式）：

$$\sum _{n=1}^{\infty }|⟨f,e_n⟩{|}^2=\Vert f{\Vert }_2^2$$

さらに、$f$ はフーリエ級数で表される：

$$f=\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n⟩e_n$$

この収束は $L^2$ ノルムの意味である。

例：フーリエ級数

$L^2([0,2\pi ])$ において、$\{e^{inx}/\sqrt{2\pi }{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は完全正規直交系をなす。したがって任意の $f\in L^2([0,2\pi ])$ はフーリエ級数に展開でき、パーセヴァルの等式が成り立つ。