L2 空間だけが内積を持つ〜ヒルベルト空間と直交射影

$L^{2} (X, μ)$ には内積が入ります^[1]。二乗可積分な関数どうしを掛けて積分するだけ。

$⟨ f, g ⟩ = \int_{X} f \overline{g} d μ$

右辺が有限になるのはコーシー・シュワルツの不等式からで、これはヘルダーの不等式で $p = q = 2$ ととったもの。

内積からノルムが復元されます。 $∥ f ∥_{2}^{2} = ⟨ f, f ⟩$ となり、 $L^{2}$ ノルムがちょうど内積の言葉で書ける。

完備でもあるので、 $L^{2}$ は内積空間として完備、つまりヒルベルト空間になります^[2]。

内積があると角度がはかれる

内積が入ると、ノルムだけでは言えないことが言えるようになります。2 つの関数のなす角のようなものが定まる。

$cos θ = \frac{⟨ f , g ⟩}{∥ f ∥ _{2} ∥ g ∥ _{2}}$

コーシー・シュワルツの不等式は、右辺の絶対値が $1$ 以下であることを保証します。角度が定義できるのはこのおかげ。

$⟨ f, g ⟩ = 0$ のとき $f$ と $g$ は直交するといいます。このときピタゴラスの定理がそのまま成り立つ。

$∥ f + g ∥_{2}^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2} + ∥ g ∥_{2}^{2}$

$L^{p}$ で内積が入るのは $p = 2$ だけ

内積から来るノルムは、中線定理を満たします^[2]。逆にこの等式が成り立てば、ノルムから内積を復元できる。

$∥ f + g ∥^{2} + ∥ f - g ∥^{2} = 2∥ f ∥^{2} + 2∥ g ∥^{2}$

$L^{p}$ でこれが成り立つかを調べると、 $p = 2$ 以外では崩れます^[2]。台の交わらない 2 つの関数で確かめると早い。

$f = χ_{A}$ 、 $g = χ_{B}$ で $A$ と $B$ が交わらず測度が $1$ ずつだとします。 $∥ f \pm g ∥_{p} = 2^{1/ p}$ なので左辺は $2 \cdot 2^{2/ p}$ 、右辺は $4$ 。

等しくなるのは $2^{2/ p} = 2$ 、つまり $p = 2$ のときだけです。

直交射影がとれる

ヒルベルト空間でいちばん効く定理が射影定理です^[2]。閉部分空間 $M$ と任意の $f$ について、 $M$ の中で $f$ にいちばん近い元がただひとつ存在する。

その元を $P f$ と書くと、差 $f - P f$ が $M$ のすべての元と直交します。最短距離を与える点から下ろした線が垂直になる、という素朴な図がそのまま成り立つ。

$f = P f + (f - P f), P f \in M, f - P f \in M^{⊥}$

空間が $M$ と $M^{⊥}$ の直和に分かれます。バナッハ空間一般では、こうはいかない。内積があってはじめて「垂直」が定義できるからです。

手順にすると 3 段。

f を閉部分空間へ落とす

残りが部分空間と直交する

空間が直和に分かれる

最小二乗法も条件付き期待値も、この射影の言い換えです。近似したい対象を部分空間へ落とす、という同じ操作。

正規直交系とベッセルの不等式

$⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{ij}$ を満たす族を正規直交系といいます^[2]。

任意の $f$ について、係数 $⟨ f, e_{n} ⟩$ の二乗和がノルムを超えません^[3]。ベッセルの不等式です。

$n \sum ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ f ∥_{2}^{2}$

証明は射影から出ます。有限個の $e_{n}$ が張る部分空間へ落とすと、射影のノルムがもとのノルム以下になるだけ。

系が完全なとき、つまり張る空間が稠密なとき、不等号が等号になります^[3]。これがパーセバルの等式。

$n \sum ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} = ∥ f ∥_{2}^{2}, f = n \sum ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$

右の展開は $L^{2}$ の意味で収束します。各点収束ではありません。

ベッセルの不等式

どんな正規直交系でも成り立つ。係数の二乗和がノルムを超えない、という上からの評価

パーセバルの等式

系が完全なときだけ成り立つ。関数の情報が係数だけで完全に決まる

フーリエ級数が $L^{2}$ で収束する

$[- π, π]$ 上で ${e^{in x} / 2 π}$ は完全な正規直交系です^[4]。だから二乗可積分な関数は、フーリエ級数で $L^{2}$ 収束する。

$N \to \infty lim f - n = - N \sum N \hat{f} (n) \frac{e ^{in x}}{2 π}_{2} = 0$

これもリース・フィッシャーの定理と呼ばれる主張のひとつ^[4]。逆向きに、二乗総和可能な係数列を与えると、それを係数に持つ $L^{2}$ 関数が存在します。

各点収束のほうは、ずっと難しい問題。 $L^{2}$ の枠なら収束が素直に言えるのに、各点で追うと議論がまるごと変わります。

跳びのそばに残る山はギブス現象と呼ばれます。高さが減らないのに幅が縮むので、二乗して積分した誤差は $0$ に落ちる。

$L^{2}$ 収束が測っているのは平均的な近さであって、各点での近さではありません。

高さの残る山があっても、幅が縮めば二乗積分の寄与は消える。

$L^{2}$ 収束と一様収束の違いが、目に見える形で出ています。

可分なら $ℓ^{2}$ と同じ

可算な完全正規直交系を持つヒルベルト空間は、係数列との対応で $ℓ^{2}$ と同一視できます^[1]。

$f ⟼ (⟨ f, e_{1} ⟩, ⟨ f, e_{2} ⟩, \dots)$

パーセバルの等式から、この対応はノルムを保ちます。関数の空間と数列の空間が、内積まで込めて同じものになる。

$[- π, π]$ 上の $L^{2}$ とフーリエ係数の空間 $ℓ^{2}$ が対応するのは、この一般論の一例です^[4]。

L^{2}

の側で見る

関数として扱える。積分や微分の操作がそのまま書ける

ℓ^{2}

の側で見る

数列として扱える。係数の減り方だけを見ればよく、計算が離散になる

リースの表現定理

ヒルベルト空間の連続線形汎関数は、内積の形に必ず書けます^[2]。

$F (f) = ⟨ f, g ⟩ となる g がただひとつ存在する$

証明は射影定理から出ます。 $F$ の核が閉部分空間なので、その直交補空間の元を使って $g$ を組み立てる。

$L^{2}$ の双対が $L^{2}$ 自身と同一視できる、という主張になります^[5]。一般の $L^{p}$ では双対が $L^{q}$ になり、自分自身とは限りません。

$L^{p}$ の中でヒルベルト空間になるのはどれですか。

$1 \leq p \leq 2$ のすべて
$p = 2$ だけ
$p = 1$ と $p = 2$

__RESULT__

ノルムが内積から来るための必要十分条件が中線定理です。台の交わらない指示関数で計算すると、左辺が $2 \cdot 2^{2/ p}$ 、右辺が $4$ になり、一致するのは $p = 2$ のときだけになります。

よくある誤り

どの

L^{p}

にも内積が入ると思う。中線定理が成り立つのは

p = 2

だけです。

パーセバルの等式がどんな正規直交系でも成り立つと思う。完全でなければベッセルの不等式どまりです。

フーリエ級数の

L^{2}

収束から各点収束を結論する。ギブス現象が残る例があります。

射影定理をバナッハ空間一般で使う。垂直が定義できるのは内積があるときだけです。

ベッセルの不等式の向きをとり違える。係数の二乗和がノルム以下、という向きです。

ℓ^{2}

との同一視に完全性が要らないと思う。完全な正規直交系があってはじめて全単射になります。

リースの表現定理を

L^{p}

一般に当てる。双対は

L^{q}

であって、自分自身とは限りません。

参考文献

Hilbert space. Wikipedia（英語）.

Hilbertraum. Wikipedia（ドイツ語）.

Parseval's identity. Wikipedia（英語）.

Riesz–Fischer theorem. Wikipedia（英語）.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

掛けて積分すれば内積になり、コーシー・シュワルツが角度を定義してくれます。中線定理を台の交わらない指示関数で試すと、釣り合うのは $p = 2$ のときだけ。閉部分空間への直交射影がとれること、ベッセルの不等式が完全な正規直交系でパーセバルの等式に変わること、フーリエ級数が $L^2$ で収束する一方で跳びのそばの山が消えないことを見ます。可分なら $\ell^2$ と同じ、というところまで。