開集合だけを認めるとどこまで届くか、ボレル集合族の中身

位相空間 $X$ の開集合をすべて含む最小の σ 加法族を、$X$ のボレル集合族といいます^[1]。記号は $\mathcal{B}(X)$。

$$\mathcal{B}(X)=\sigma (\{U\subseteq X:U\text{ は開集合}\})$$

開集合を測れるものとして認め、そこから σ 加法族の操作で届くところまで広げる。位相と測度をつなぐ最初の一手がこれです^[3]。

最小のものが存在する理由

「最小の σ 加法族」と書きましたが、そんなものが本当にあるのかは確かめておく必要があります。

作り方は交わりです。$\mathcal{E}$ を含む σ 加法族すべての交わりをとる。べき集合が候補に入っているので相手は必ず 1 つ以上あり、σ 加法族の交わりはまた σ 加法族になる^[3]。

$$\sigma (\mathcal{E})=\bigcap \{\mathcal{G}:\mathcal{G}\supseteq \mathcal{E},\mathcal{G}\text{ は }\sigma \text{ 加法族}\}$$

下から積み上げる作り方もありますが、そちらは超限回の手続きが要ります。存在を言うだけなら上から交わらせるほうが早い。

生成元はとり替えがきく

$\mathbb{R}$ 上のボレル集合族は、開区間以外のものからも生成できます^[6]。どれを出発点にしても同じ場所に着く。

$$\sigma (\{(a,b)\})=\sigma (\{[a,b]\})=\sigma (\{(-\infty ,b)\})=\sigma (\{(a,\infty )\})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$$

半直線から閉区間が出るところを見ておきます。まず補集合で $[a,\infty )$ が入り、交わりで $[a,b)$ が入る。あとは可算交叉で右端を閉じます。

$$[a,b]=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left[a,b+\frac{1}{n}\right)$$

逆向きは、閉区間の可算合併で開区間が書けることから出ます。どちらの向きも通ったので、生成される族は一致する。

有理数を端点にするだけで足りる

もっと切り詰められます。端点を有理数に限った区間だけで、ボレル集合族の全体が生成できる^[3]。

理由は、任意の開区間が有理数端点の区間の可算合併で書けるからです。$(a,b)$ の中に有理数の組 $(p,q)$ をとり、内側から寄せていく。

生成元が可算個で済むという事実は、あとで濃度を数えるときに効いてきます。無限に大きな出発点は要りません。

開集合と閉集合のすぐ隣

ボレル集合族の中身を、開集合から近い順に眺めてみる。開集合の可算交叉を $G_{\delta }$ 集合、閉集合の可算合併を $F_{\sigma }$ 集合といいます^[5]。

$G$ はドイツ語の Gebiet、$\delta$ は Durchschnitt。$F$ はフランス語の fermé、$\sigma$ は somme に由来します。名前に 2 か国語が混ざっているのは、この分野の来歴そのもの。

補集合をとると $G_{\delta }$ と $F_{\sigma }$ が入れ替わります。片方を調べれば、もう片方は自動的に分かる。

例：有理数全体と無理数全体

$\mathbb{Q}$ は可算集合なので、1 点集合の可算合併として書けます。1 点集合は閉集合だから、$\mathbb{Q}$ は $F_{\sigma }$ 集合^[5]。

$$\mathbb{Q}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{q_n\}$$

補集合をとると、無理数全体 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ は $G_{\delta }$ 集合になります。有理数を 1 点ずつ抜いた開集合の可算交叉。

$\mathbb{Q}$ のほうは $G_{\delta }$ にはなりません。もし $G_{\delta }$ なら、それを構成する開集合は稠密になる。無理数側の $G_{\delta }$ と交わらせると空集合が出て、ベールのカテゴリー定理と衝突します^[5]。

ここから面白い結論が出ます。関数の連続点の集合はいつも $G_{\delta }$ なので、有理数の上でだけ連続な関数は存在しない。逆向きの、無理数の上でだけ連続な関数はトマエ関数として実在します。

例：見慣れた集合はどこにいるか

代表的な集合を、階層の低いほうから並べます。ほとんどの集合は下の 2 段で足りる。

日常の解析で出てくる集合は、たいてい $F_{\sigma }$ か $G_{\delta }$ までに収まります。階層の上のほうは、集合論の側からの関心で調べられている領域。

関数のほうから出てくる例もあります。どんな関数についても、連続点の集合は $G_{\delta }$ で、不連続点の集合は $F_{\sigma }$ になる^[5]。

ディリクレ関数 ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ はどこでも不連続なので、不連続点の集合は $\mathbb{R}$ 全体。これは閉集合なので、もちろん $F_{\sigma }$ です。

ボレル階層は超限に伸びる

$G_{\delta }$ や $F_{\sigma }$ を作る操作は、いくらでも繰り返せます。この繰り返しを整理したものがボレル階層です^[2]。

${\Sigma }_1^0$ を開集合、${\Pi }_1^0$ を閉集合とし、以下を帰納的に定めます。${\Sigma }_2^0$ が $F_{\sigma }$、${\Pi }_2^0$ が $G_{\delta }$ にあたる。

非可算なポーランド空間では、この包含はどの段でも真になります^[2]。$G_{\delta }$ でも $F_{\sigma }$ でもないボレル集合が実在する、ということ。

階層は最初の非可算順序数 ${\omega }_1$ で閉じます^[2]。可算個の集合を選んでも、それぞれが現れる段の上限はまだ可算順序数だから。そこで可算合併をとっても外へ出ません。

可算回で止まらないのは、どの可算順序数 $\alpha$ についても ${\Sigma }_{\alpha }^0$ に真に新しい集合が現れるからです^[4]。有限回や $\omega$ 回では足りない。

個数を数えると連続体濃度になる

生成元が可算個で足りることと、階層が ${\omega }_1$ で閉じることを合わせると、個数が数えられます^[3]。

各段で作れる集合は、それ以前の可算個の族から可算列を選ぶぶんだけ。これを ${\omega }_1$ 段ぶん積み上げても、総数は連続体濃度 $\mathfrak{c}$ を超えません。

$$|\mathcal{B}(\mathbb{R})|=\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$$

いっぽう $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ になる。ボレル集合族はべき集合よりはるかに小さい族だと分かります。

ボレル集合でないルベーグ可測集合

濃度の差から、存在がそのまま出ます。カントール集合はルベーグ測度 $0$ で、濃度は連続体^[6]。

ルベーグ測度は完備なので、測度 $0$ の集合の部分集合はすべてルベーグ可測です。カントール集合の部分集合は $2^{\mathfrak{c}}$ 個あり、全部がルベーグ可測。

その個数はボレル集合の個数 $\mathfrak{c}$ を超えています。したがってボレル集合でないルベーグ可測集合が存在する。

具体例も知られていて、ルジンが連分数展開を使って作った集合が挙げられます^[1]。存在だけなら数えるだけで済むところが、この議論のうまみです。

ルベーグ可測集合はボレル集合の完備化

2 つの族の関係は、はっきり書けます。ルベーグ可測集合は、ボレル集合に測度 $0$ の集合の部分集合を継ぎ足したものとして表せる^[3]。

$$L=B\cup N,B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),N\subseteq Z,Z\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu (Z)=0$$

ボレル集合族が完備でないぶんを埋めた族がルベーグ σ 加法族、という関係です。測る力そのものは変わらず、扱える集合の粒だけが細かくなる。

解析集合という一段外側

ボレル集合を真に含む族も調べられています。ポーランド空間の連続像として書ける集合を解析集合といい、ボレル集合はその特別な場合^[4]。

スースリンの判定が両者をつなぎます。解析集合がボレル集合であることと、その補集合も解析集合であることが同値になる。

quiz で確かめる

よくある誤り

参考文献