ボレル集合族と生成される σ 加法族

ボレル集合族は、位相空間上で測度論を展開する際の標準的な σ 加法族である。開集合や閉集合といった位相的に自然な集合をすべて含み、かつ σ 加法族として最小のものとして特徴づけられる。

ボレル集合族の定義

位相空間 $X$ において、開集合全体の族を $O$ とする。 $O$ を含む最小の σ 加法族を ボレル集合族といい、 $B (X)$ と書く。ボレル集合族の元をボレル集合という。

「最小」とは、 $O$ を含む任意の σ 加法族 $F$ に対して $B (X) \subset F$ が成り立つことを意味する。このような最小の σ 加法族の存在は、 $O$ を含むすべての σ 加法族の共通部分をとることで保証される。

より一般に、集合 $X$ の部分集合族 $E$ が与えられたとき、 $E$ を含む最小の σ 加法族を $σ (E)$ と書き、 $E$ により生成される σ 加法族という。ボレル集合族は $B (X) = σ (O)$ である。

生成の定義から、 $E \subset E^{'}$ ならば $σ (E) \subset σ (E^{'})$ が成り立つ。また $E$ 自身が σ 加法族ならば $σ (E) = E$ である。

$R$ 上のボレル集合族 $B (R)$ は、次のいずれの集合族からも生成される：

これらが同じ σ 加法族を生成することは、互いに他方の集合族の元を可算回の集合演算で表せることから従う。たとえば開区間 $(a, b)$ は

$(a, b) = n = 1 ⋃ \infty [a + \frac{1}{n}, b)$

と左半開区間の可算和で書ける。

最後の生成系は可算集合であり、 $B (R)$ が可算個の生成元から作られることを示している。一方、 $B (R)$ 自体は非可算集合である（濃度は連続体濃度 $c$ ）。

ボレル集合族は、開集合と閉集合から出発して可算回の和・積・補集合の操作を繰り返すことで構成される。この構成過程は超限帰納法により階層化できる。

$Σ_{1}^{0}$ を開集合全体、 $Π_{1}^{0}$ を閉集合全体とする。順序数 $α$ に対し、

$Σ_{α}^{0} = {n = 1 ⋃ \infty A_{n} : A_{n} \in Π_{β_{n}}^{0}, β_{n} < α}$

$Π_{α}^{0} = {A^{c} : A \in Σ_{α}^{0}}$

と定める。 $B (R) = ⋃_{α < ω_{1}} Σ_{α}^{0}$ であり、 $ω_{1}$ （最小の非可算順序数）段階で構成が完了する。

この階層は真に増大する。たとえば $G_{δ}$ 集合（可算個の開集合の共通部分）は $Π_{2}^{0}$ に属し、 $F_{σ}$ 集合（可算個の閉集合の和）は $Σ_{2}^{0}$ に属する。 $Q$ は $F_{σ}$ だが $G_{δ}$ ではない。

$X$ , $Y$ を位相空間とし、 $X \times Y$ に積位相を入れる。一般には

$B (X) \otimes B (Y) \subset B (X \times Y)$

が成り立つ。ここで左辺は $B (X)$ と $B (Y)$ の積 σ 加法族（ $A \times B$ 型の集合から生成）である。

$X$ , $Y$ が第二可算空間（可算個の開集合で基底をなす）のとき、等号が成り立つ。特に $R^{n}$ のボレル集合族について

$B (R^{n}) = B (R) \otimes \dots \otimes B (R)$

が成り立ち、 $n$ 次元の問題を 1 次元の議論に帰着できる場合がある。