共役指数がすべてを決める - ヘルダーとミンコフスキーの不等式

$1\le p,q\le \infty$ が $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を満たすとき、$p$ と $q$ を共役指数といいます^[1]。$p=1$ には $q=\infty$ が、$p=2$ には $q=2$ が対応。

この関係のもとで、積の積分がノルムの積で押さえられます。

$$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

ヘルダーの不等式です。左辺は $\int |fg|d\mu$、右辺は $f$ と $g$ をそれぞれ別の指数で測ったもの。

ヤングの不等式から出る

証明の芯は 1 変数の不等式です。$a,b\ge 0$ と共役指数について次が成り立ちます^[1]。

$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

これをヤングの不等式といいます。図で見ると、曲線 $y=x^{p-1}$ の下の面積と左の面積を足したものが、長方形 $ab$ 以上になる、という主張。

ヘルダーの不等式の証明は、これを各点で当てるだけです。$\Vert f{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_q=1$ と正規化しておき、$a=|f(x)|$、$b=|g(x)|$ とおく。

$$|f(x)g(x)|\le \frac{|f(x){|}^p}{p}+\frac{|g(x){|}^q}{q}$$

両辺を積分すると、右辺は $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ になります。左辺が $1$ 以下、つまり $\Vert fg{\Vert }_1\le 1=\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$。

正規化を戻せば一般の場合が出ます。$\Vert f{\Vert }_p$ か $\Vert g{\Vert }_q$ が $0$ のときは、片方が a.e. で $0$ なので両辺とも $0$。

等号が立つのはいつか

$1<p<\infty$ のとき、等号は $|f{|}^p$ と $|g{|}^q$ が a.e. で 1 次従属になるときに限ります^[1]。

ヤングの不等式で等号が立つのは $b=a^{p-1}$ のときだけ、という事実がそのまま持ち上がったもの。各点で等号が立つ必要があるので、比が定数でなければなりません。

特別な場合

$p=q=2$ にとるとコーシー・シュワルツの不等式です^[1]。

$${\int }_X|fg|d\mu \le {\left({\int }_X|f{|}^{2}d\mu \right)}^{1/2}{\left({\int }_X|g{|}^{2}d\mu \right)}^{1/2}$$

$p=1$、$q=\infty$ にとると、$|fg|\le \Vert g{\Vert }_{\infty }|f|$ が a.e. で成り立つことから出ます。素朴に見えますが、これもヘルダーの一例。

数え上げ測度にとれば数列の形になります。有限和でも無限和でも同じ不等式が立つ。

$$\sum _n|a_n{b}_n|\le {\left(\sum _n|a_n{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _n|b_n{|}^q\right)}^{1/q}$$

ミンコフスキーの不等式

三角不等式のほうを見ます。$1\le p\le \infty$ について次が成り立ちます^[2]。

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$

これがあるおかげで $\Vert \cdot {\Vert }_p$ がノルムになり、$L^p$ がノルム空間になります^[4]。

証明はヘルダーを経由します。$|f+g{|}^p=|f+g|\cdot |f+g{|}^{p-1}$ と分け、前を $|f|+|g|$ で押さえる。

$$\Vert f+g{\Vert }_p^p\le \int |f||f+g{|}^{p-1}d\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}d\mu$$

それぞれにヘルダーを当てます。$|f+g{|}^{p-1}$ の $q$ 乗が $|f+g{|}^p$ になるところが噛み合っていて、$\Vert f+g{\Vert }_p^{p-1}$ が外に出る。

$$\Vert f+g{\Vert }_p^p\le (\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\Vert f+g{\Vert }_p^{p-1}$$

両辺を $\Vert f+g{\Vert }_p^{p-1}$ で割れば結論です。この割り算のために、$\Vert f+g{\Vert }_p$ が有限かつ $0$ でないことを先に確かめます。

等号と、$p<1$ での逆転

$1<p<\infty$ での等号は、$f$ と $g$ が正の定数倍で結ばれているとき、あるいは片方が $0$ のときに限ります^[2]。

$0<p<1$ では不等号の向きが逆になります^[2]。非負の関数に限れば、$\Vert f+g{\Vert }_p\ge \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$ が成り立つ。

単位球の形で見ると納得できます。$p\ge 1$ では凸なので和が球の中に収まり、$p<1$ では星形にへこむので外へ出る。

積分形のミンコフスキー

和を積分に置き換えた形もあります^[2]。σ 有限な 2 つの測度空間の上で、次が成り立ちます。

$${\Vert {\int }_{S_1}F(\cdot ,y)d{\mu }_1(y)\Vert }_{L^p(S_2)}\le {\int }_{S_1}\Vert F(\cdot ,y){\Vert }_{L^p(S_2)}d{\mu }_1(y)$$

「積分してからノルムをとる」ほうが「ノルムをとってから積分する」より小さい、と読めます。有限和の三角不等式を、積分にまで押し広げたもの。

たたみこみの評価や、偏微分方程式の評価でよく使われる道具。

応用：包含関係と補間

測度が有限なら $L^q\subseteq L^p$（$p\le q$）が成り立ちました。これはヘルダーから 1 行で出ます。

$|f{|}^p$ と定数関数 $1$ に、指数 $q/p$ とその共役をとって当てるだけ。

$${\int }_X|f{|}^{p}d\mu \le {\left({\int }_X|f{|}^{q}d\mu \right)}^{p/q}\mu (X{)}^{1-p/q}$$

もうひとつがノルムの補間です。$p_0<p<p_1$ を $\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1}$ で結ぶと、次が成り立ちます^[1]。

$$\Vert f{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_{p_0}^{1-\theta }\Vert f{\Vert }_{p_1}^{\theta }$$

リトルウッドの不等式と呼ばれます。$\log \Vert f{\Vert }_p$ が $1/p$ の凸関数になる、と言い換えられる^[1]。

両端の指数でノルムが有限なら、あいだの指数でも有限。$L^{p_0}\cap L^{p_1}\subseteq L^p$ が、測度に条件をつけずに従います。

応用：双対性

$1<p<\infty$ のとき、$g\in L^q$ を固定すると $F(f)=\int fgd\mu$ が $L^p$ 上の有界線形汎関数になります^[3]。

ヘルダーの不等式が有界性を与え、しかも作用素ノルムがちょうど $\Vert g{\Vert }_q$ に一致する。等号条件を使って、上限が実際に達成されることを示します^[3]。

逆に $L^p$ の有界線形汎関数がすべてこの形に書けることも成り立ちます。$L^p$ の双対が $L^q$ と同一視できる、という主張です^[3]。

よくある誤り

参考文献