ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式

ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式は、$L^p$ 空間の理論における基本的な不等式である。前者は積の積分を各因子のノルムで評価し、後者は $L^p$ ノルムが三角不等式を満たすことを保証する。

ヘルダーの不等式

$1\le p,q\le \infty$ が $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を満たすとき（このような $p,q$ を共役指数という）、$f\in L^p$, $g\in L^q$ に対して $fg\in L^1$ であり、

$$\Vert fg{\Vert }_1={\int }_X|fg|d\mu \le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

が成り立つ。

$p=q=2$ の場合はコーシー・シュワルツの不等式として知られる：

$$\left|{\int }_{X}fgd\mu \right|\le \Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2$$

ヘルダーの不等式の証明

$p=1$ または $p=\infty$ の場合は自明なので、$1<p<\infty$ とする。

$\Vert f{\Vert }_p=0$ または $\Vert g{\Vert }_q=0$ の場合は $fg=0$ a.e. なので成立。そうでない場合、$F=|f|/\Vert f{\Vert }_p$, $G=|g|/\Vert g{\Vert }_q$ とおくと $\Vert F{\Vert }_p=\Vert G{\Vert }_q=1$ である。

ヤングの不等式 $ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$（$a,b\ge 0$）を $F(x)$, $G(x)$ に適用して積分すると、

$${\int }_{X}FGd\mu \le \frac{1}{p}{\int }_X{F}^{p}d\mu +\frac{1}{q}{\int }_X{G}^{q}d\mu =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

これを元に戻せばヘルダーの不等式が得られる。

ミンコフスキーの不等式

$1\le p\le \infty$ とし、$f,g\in L^p$ とする。このとき $f+g\in L^p$ であり、

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$

が成り立つ。これは $L^p$ ノルムが三角不等式を満たすことを示している。

ミンコフスキーの不等式の証明

$p=1$ の場合は $|f+g|\le |f|+|g|$ の積分から直ちに従う。$p=\infty$ の場合も本質的上限の定義から明らか。

$1<p<\infty$ の場合、$|f+g{|}^p\le (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}$ を用いる。両辺を積分し、右辺にヘルダーの不等式を適用する。$(p-1)q=p$ に注意して整理すれば結論が得られる。

一般化されたヘルダーの不等式

3 つ以上の関数に対する一般化も成り立つ。$p_1,\dots ,p_n\ge 1$ が

$$\frac{1}{p_1}+\cdots +\frac{1}{p_n}=1$$

を満たすとき、$f_i\in L^{p_i}$ に対して

$${\int }_X|f_1\cdots f_n|d\mu \le \Vert f_1{\Vert }_{p_1}\cdots \Vert f_n{\Vert }_{p_n}$$

が成り立つ。

逆ヘルダーの不等式

$0<p<1$ のとき、ヘルダーの不等式の向きが逆転する。$1/p+1/q=1$（$q<0$）として、

$$\Vert fg{\Vert }_1\ge \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

ただしこの場合 $\Vert \cdot {\Vert }_q$ は通常の意味でのノルムではない。

内挿不等式

$1\le p<r<q\le \infty$ とし、$f\in L^p\cap L^q$ とする。このとき $f\in L^r$ であり、

$$\Vert f{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p^{\theta }\Vert f{\Vert }_q^{1-\theta }$$

が成り立つ。ここで $\theta \in (0,1)$ は $\frac{1}{r}=\frac{\theta }{p}+\frac{1-\theta }{q}$ で定まる。

この不等式はヘルダーの不等式から導かれ、$L^p$ 空間の内挿理論の出発点となる。