k が動くと直線はどこを通るのか？通過領域という問題

$k$ を含む直線や曲線は、$k$ の値ごとに位置が変わります。$k$ を動かすと図形が動き、通った跡が平面に広がる。この跡が通過領域です。

跡の形を求めるのに、図形を何本も描いて眺める必要はありません。ある点を通るかどうかは、次の一言で決まります。

その点を通るような $k$ が存在するか。存在すれば通過領域に入り、存在しなければ入りません。

点を固定して $k$ の方程式と見る

$y=kx+k^2$ を考えます。$k$ はすべての実数を動くとします。

点 $(X,Y)$ がこの直線群の通過領域に入る条件を書きます。$X$ と $Y$ を代入した式が成り立つような $k$ があればよい。

$$Y=kX+k^2$$

ここで見方を切り替えます。$X$ と $Y$ は固定した数、$k$ が未知数です。$k$ について整理します。

$$k^2+Xk-Y=0$$

$k$ の二次方程式になりました。実数解をもつ条件は判別式で書けます。

$$D=X^2+4Y\ge 0,Y\ge -\frac{X^2}{4}$$

$X$ と $Y$ を $x$ と $y$ に戻すと、通過領域は $y\ge -\frac{x^2}{4}$ です。放物線とその上側。

薄い直線が $k$ をいろいろ変えて描いたものです。橙が今の $k$ に対応する $1$ 本。

どの直線も青い放物線より下へは入りません。放物線に触れて、そこから離れていく。触れる点が橙の丸です。

直線たちが埋めるのは放物線の上側だけ。これが $y\ge -\frac{x^2}{4}$ の意味です。

なぜ判別式が出るのか

$k$ の二次方程式に直したので、実数解の有無が判別式で決まりました。手順を言い換えると次のようになります。

$2$ 段目の見方の切り替えが要です。$x$ と $y$ が変数で $k$ が定数、という読み方をやめ、逆にする。

$k$ について何次になるかで、$3$ 段目の書き方が変わります。二次なら判別式、一次なら解が必ずあるかどうか。

例：接線が作る領域

$y=2kx-k^2$ を考えます。$k$ はすべての実数です。

点 $(X,Y)$ を代入し、$k$ について整理します。

$$k^2-2Xk+Y=0$$

$k$ の係数が偶数なので $D/4$ を使います。

$$\frac{D}{4}=X^2-Y\ge 0,Y\le X^2$$

通過領域は $y\le x^2$ で、放物線とその下側になります。

さきほどとは向きが逆です。この直線群は放物線 $y=x^2$ の接線を並べたもので、接線は放物線の下側だけを埋めます。

$k=1$ なら $y=2x-1$ で、$y=x^2$ と $x=1$ で接する。他の $k$ でも同じことが起きています。

塗った部分が通過領域の外です。境界の放物線から上が答えで、下は $k$ をどう選んでも届きません。

境界そのものは領域に入ります。判別式が $0$ になる $k$ が $1$ つだけ存在するためです。

$k$ について一次のときは除外点が出る

$k$ が二次で現れるとは限りません。一次のときは、判別式ではなく別の見方をします。

$y=x^2+kx+k$ を考えます。点 $(X,Y)$ を代入して $k$ について整理します。

$$k(X+1)=Y-X^2$$

$X+1\ne 0$ なら、両辺を割って $k=\frac{Y-X^2}{X+1}$。この $k$ が実際に存在するので、点は通過領域に入ります。

$X+1=0$、つまり $X=-1$ のときは割れません。左辺が $0$ になるので、右辺も $0$ でなければ成り立たない。

$$Y-1=0,Y=1$$

$X=-1$ の直線上では、$Y=1$ の $1$ 点だけが通過領域に入ります。それ以外の点は、どんな $k$ でも通りません。

答えは「$x\ne -1$ の部分すべてと、点 $(-1,1)$」になります。平面のほとんどを覆いながら、$1$ 本の直線だけが穴になっていて、その穴に $1$ 点だけ残る形。

割り算をするときは、割る式が $0$ になる場合を別に調べる。この一手を省くと、$1$ 本の直線ぶんの答えを落とします。

$k$ に範囲があるとき

$k$ が実数全体を動かない場合は、その範囲も条件に加えます。

$y=kx+1$ で $0\le k\le 1$ とします。点 $(X,Y)$ を代入します。

$$Y=kX+1,kX=Y-1$$

$X\ne 0$ なら $k=\frac{Y-1}{X}$ です。これが $0$ 以上 $1$ 以下という条件を書きます。

$$0\le \frac{Y-1}{X}\le 1$$

分母の符号で場合が分かれます。$X>0$ なら分母を掛けても向きは変わりません。

$$0\le Y-1\le X,1\le Y\le X+1$$

$X<0$ なら向きが変わります。

$$X\le Y-1\le 0,X+1\le Y\le 1$$

$X=0$ のときは $0=Y-1$ なので $Y=1$。この点はどの $k$ でも通ります。

$2$ 本の直線にはさまれた $2$ つのくさび形が答えです。どの直線も点 $(0,1)$ を通るので、そこが要になっています。

$k=0$ のとき $y=1$、$k=1$ のとき $y=x+1$。この $2$ 本が境界で、あいだの傾きがくさびを埋めます。

$k$ の範囲が閉じているので、境界の $2$ 本も領域に入ります。$k$ の範囲が $0<k<1$ なら、境界は破線になる。

$k$ が二次で、しかも範囲があるとき

$k$ が二次で範囲も限られていると、判別式だけでは足りません。解が範囲の中にあるかどうかまで調べる必要があります。

たとえば $y=2kx-k^2$ で $-1\le k\le 1$ とすると、$k^2-2Xk+Y=0$ が $-1\le k\le 1$ に解をもつ条件を書くことになります。

判別式で実数解の有無を見て、そのうえで解の位置を確かめる。二次方程式の解がどこにあるかを調べる問題に変わります。

範囲がなければ判別式だけで済みます。問題文に $k$ の範囲が書いてあるかどうかを、最初に確かめておくと道を選べます。

円が動く場合

動くのは直線に限りません。曲線でも手順は同じです。

円 $(x-k{)}^2+y^2=1$ で $k$ が実数全体を動くとします。中心が $x$ 軸上を左右に動く円です。

点 $(X,Y)$ を代入して $k$ について整理します。

$$(X-k{)}^2=1-Y^2$$

左辺は平方なので $0$ 以上。この式を満たす $k$ が存在する条件は、右辺が $0$ 以上であることです。

$$1-Y^2\ge 0,-1\le Y\le 1$$

通過領域は $-1\le y\le 1$ の帯になります。円が左右に動くので、上下の幅だけが残った形。

$k$ について展開して二次方程式に直しても同じ答えが出ます。ただ、平方の形のまま読むほうが速い場面です。

「すべての $k$ で成り立つ」とは違う

通過領域が聞いているのは「その点を通る $k$ が $1$ つでもあるか」です。ひとつでもあれば入ります。

これとよく似た形で「すべての $k$ で成り立つ」という条件があります。こちらは、どの $k$ を選んでも成り立つ点を探す。

$y=kx+1$ について「すべての $k$ で通る点」を探します。$kX=Y-1$ がどの $k$ でも成り立つ条件から、$X=0$ かつ $Y=1$。点 $(0,1)$ だけです。

この点はどの直線も通ります。他の点は、特定の $k$ でだけ通る。この差が $2$ つの条件の差です。

$y=kx+k^2$ のほうには、すべての $k$ が通る点はありません。$k^2$ の係数が $1$ で、これを $0$ にできないためです。通過領域は広いのに、共通の点は $1$ つもない。

手順のまとめ

$5$ 段目を飛ばすと、境界の実線と破線を書き分けられません。判別式が $0$ になる点は、その $k$ で確かに通るので境界も領域に入ります。

よくある誤り

参考文献