三角形の外心と内心の座標（等距離と角の二等分から出す）

重心は $3$ 頂点の座標を平均すれば出ます。ところが外心と内心は、平均では出ません。それぞれ別の条件から立てる必要があります。

外心は $3$ 頂点から等しい距離にある点。内心は $3$ 辺から等しい距離にある点です。頂点までの距離か、辺までの距離か。この違いが、そのまま計算の違いになります。

外心は 3 頂点から等距離

外心を $O (x, y)$ とします。 $O A = O B = O C$ が条件です。

距離のまま扱うと根号が出るので、 $2$ 乗した形で書きます。どれも $0$ 以上なので、 $2$ 乗しても同値のまま。

$O A^{2} = O B^{2}, O A^{2} = O B^{2} = O C^{2}$

$2$ 乗どうしを等しいと置くと、 $x^{2}$ と $y^{2}$ が両辺で打ち消し合います。残るのは $x$ と $y$ の一次式。

未知数が $2$ つ、式が $2$ 本なので、連立一次方程式として解けます。二次にならないところが、この方法の軽さです。

破線が $2$ 本の垂直二等分線です。 $A B$ の垂直二等分線は $x = 2$ 、 $A C$ の垂直二等分線は $y = 1$ 。

その交点が外心で、そこを中心にすると $3$ 頂点をちょうど通る円が描けます。この円を外接円といいます。

例：外心の座標を求める

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (0, 2)$ の外心を求めます。 $O (x, y)$ と置きます。

$O A^{2} = O B^{2}$ を書きます。

$x^{2} + y^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}, 0 = - 8 x + 16, x = 2$

$O A^{2} = O C^{2}$ も書きます。

$x^{2} + y^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2}, 0 = - 4 y + 4, y = 1$

外心は $(2, 1)$ です。外接円の半径は $O A = 4 + 1 = 5$ 。

検算します。 $O B = (2 - 4)^{2} + 1 = 5$ 、 $O C = 4 + (1 - 2)^{2} = 5$ 。 $3$ つとも一致しました。

この問題では、辺 $A B$ が $x$ 軸に、辺 $A C$ が $y$ 軸に乗っていました。おかげで垂直二等分線が座標軸に平行になり、式が $1$ 行で片づいています。

垂直二等分線の交点として求める

同じ点を、別の道から求めることもできます。 $2$ 点から等距離にある点の集まりが垂直二等分線なので、その交点が外心です。

$A$ と $B$ の垂直二等分線は、中点 $(2, 0)$ を通り $A B$ に垂直な直線。 $A B$ が横向きなので、垂直二等分線は縦の直線 $x = 2$ です。

$A$ と $C$ の垂直二等分線は、中点 $(0, 1)$ を通り $A C$ に垂直。 $A C$ が縦向きなので $y = 1$ 。

交点は $(2, 1)$ で、さきほどと同じ。辺が座標軸に平行なときは、この道のほうが速くなります。

$3$ 本目の垂直二等分線も同じ点を通ります。 $2$ 本で決まるので、 $3$ 本目は検算に使えます。

外心の位置は角の大きさで変わる

外心はいつも三角形の中にあるとは限りません。

鋭角三角形

外心は三角形の内部にあります。 $3$ つの角がどれも $90$ 度より小さい場合。

直角三角形

外心は斜辺の中点にちょうど乗ります。斜辺が外接円の直径になるためです。

鈍角三角形

外心は三角形の外に出ます。いちばん大きい角と向かい合う辺の、反対側へ。

直角三角形の場合が使いやすい性質です。外心を計算せずに、斜辺の中点を書くだけで済みます。

頂点を下げていくと、外心が三角形の中から底辺を越えて外へ出ます。緑が内部、橙が外部。

ちょうど底辺の上に乗った瞬間が直角三角形です。そこを境に、鋭角から鈍角へ変わっています。

例：直角三角形の外心

$A (1, 1)$ 、 $B (5, 1)$ 、 $C (1, 7)$ の外心を求めます。 $A B$ は横向き、 $A C$ は縦向きなので、 $A$ が直角です。

斜辺は $B C$ なので、その中点が外心になります。

$(\frac{5 + 1}{2}, \frac{1 + 7}{2}) = (3, 4)$

半径は $3$ 頂点までの距離で、どれも $4 + 9 = 13$ です。

計算で確かめると、 $O A^{2} = O B^{2}$ から $x = 3$ 、 $O A^{2} = O C^{2}$ から $y = 4$ 。同じ結果に着きます。

例：鈍角三角形の外心

$A (0, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 、 $C (1, 2)$ の外心を求めます。

$O A^{2} = O B^{2}$ より $12 x = 36$ で $x = 3$ 。 $O A^{2} = O C^{2}$ より $2 x + 4 y = 5$ です。

$x = 3$ を入れると $4 y = - 1$ で $y = - \frac{1}{4}$ 。外心は $(3, - \frac{1}{4})$ 。

$y$ 座標が負なので、三角形より下にあります。三角形は $y \geq 0$ の側にあるので、外心は外に出ました。

辺の長さを見ると $A B = 6$ 、 $A C = 5$ 、 $B C = 29$ 。いちばん長い $A B$ について $36 > 5 + 29$ なので、 $C$ の角が鈍角です。

内心は 3 辺から等距離

内心は $3$ つの辺までの距離が等しい点です。頂点ではなく辺までの距離を測る点が、外心との違い。

辺までの距離は、点と直線の距離として計算します。だから $3$ 本の辺の方程式が要ります。

内心を $I (p, q)$ とし、 $3$ 辺までの距離を書き並べて等しいと置く。絶対値が入るので、三角形の内部にいることを使って符号を決めます。

$3$ 本の破線が、内心から各辺へ下ろした垂線です。長さがどれも等しく、その長さが内接円の半径になります。

例：内心の座標を求める

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (0, 3)$ の内心を求めます。内心を $(p, q)$ とし、三角形の内部なので $p > 0$ 、 $q > 0$ です。

辺 $A B$ は $x$ 軸なので、そこまでの距離は $q$ 。辺 $A C$ は $y$ 軸なので、距離は $p$ 。

$q = p$ が $1$ 本目の式です。

辺 $B C$ の方程式を作ります。 $B (4, 0)$ と $C (0, 3)$ を通るので、切片の形から $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ 、整理して $3 x + 4 y - 12 = 0$ 。

内部の点では $3 p + 4 q - 12 < 0$ なので、距離は次のようになります。

$\frac{12 - 3 p - 4 q}{5} = p$

$q = p$ を代入します。

$12 - 7 p = 5 p, p = 1$

内心は $(1, 1)$ 、内接円の半径は $1$ です。

検算します。 $x$ 軸までの距離が $1$ 、 $y$ 軸までの距離が $1$ 、辺 $B C$ までは $\frac{∣3 + 4 - 12∣}{5} = 1$ 。 $3$ つとも $1$ になりました。

対辺の長さで重みをつけた平均

内心には、辺の長さを使った書き方もあります。頂点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ と向かい合う辺の長さを $a$ 、 $b$ 、 $c$ とすると、次のとおり。

$I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a + b + c}$

重心が単純な平均だったのに対して、こちらは辺の長さを重みにした平均です。長い辺と向かい合う頂点ほど、強く引っぱります。

さきほどの例で確かめます。 $a = B C = 5$ 、 $b = C A = 3$ 、 $c = A B = 4$ です。

$I = \frac{5 ( 0 , 0 ) + 3 ( 4 , 0 ) + 4 ( 0 , 3 )}{12} = \frac{( 12 , 12 )}{12} = (1, 1)$

距離から求めた結果と一致しました。辺の長さが素直な数になる問題では、この形のほうが速くなります。

内心はいつでも内部にある

外心は三角形の外へ出ることがありましたが、内心は必ず内部にあります。 $3$ 辺すべてから正の距離だけ離れた点は、内側にしかないためです。

内接円も三角形の中に収まります。 $3$ 辺に接して、はみ出しません。

外心

$3$ 頂点から等距離。三角形の外に出ることがあり、直角なら斜辺の中点に乗ります。

内心

$3$ 辺から等距離。いつでも内部にあり、外に出ることはありません。

垂心も座標で出せる

$3$ 頂点から下ろした垂線は $1$ 点で交わります。その点を垂心といいます。

$A (0, 4)$ 、 $B (- 2, 0)$ 、 $C (3, 0)$ で求めます。 $B C$ が $x$ 軸なので、 $A$ から下ろした垂線は $x = 0$ 。

$B$ から $A C$ へ下ろす垂線を作ります。 $A C$ の傾きは $\frac{0 - 4}{3 - 0} = - \frac{4}{3}$ なので、垂線の傾きは $\frac{3}{4}$ 。

$y = \frac{3}{4} (x + 2)$

$x = 0$ を代入すると $y = \frac{3}{2}$ 。垂心は $(0, \frac{3}{2})$ です。

$3$ 本目でも確かめます。 $A B$ の傾きは $2$ なので垂線の傾きは $- \frac{1}{2}$ 、 $C (3, 0)$ を通るので $y = - \frac{1}{2} (x - 3)$ 。 $x = 0$ で $y = \frac{3}{2}$ となり、同じ点を通りました。

3 つの中心は一直線に並ぶ

同じ三角形の重心、外心、垂心は、いつも $1$ 本の直線の上に並びます。

さきほどの $A (0, 4)$ 、 $B (- 2, 0)$ 、 $C (3, 0)$ で確かめます。重心は座標の平均です。

$G = (\frac{0 - 2 + 3}{3}, \frac{4 + 0 + 0}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$

外心も求めます。 $O B^{2} = O C^{2}$ から $10 x = 5$ で $x = \frac{1}{2}$ 、 $O B^{2} = O A^{2}$ から $y = \frac{5}{4}$ 。

$O = (\frac{1}{2}, \frac{5}{4}), G = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3}), H = (0, \frac{3}{2})$

$O$ から $G$ への変化は $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{12})$ 、 $G$ から $H$ へは $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{6})$ 。後者はちょうど前者の $2$ 倍です。

向きが同じで大きさが $2$ 倍なので、 $3$ 点は一直線に並び、 $G H$ が $O G$ の $2$ 倍の長さになっています。

4 つの中心を並べる

名前	条件	求め方
重心	中線の交点	$3$ 頂点の平均
外心	$3$ 頂点から等距離	距離の $2$ 乗を等しいと置く
内心	$3$ 辺から等距離	点と直線の距離を等しいと置く
垂心	$3$ 垂線の交点	垂線 $2$ 本を連立する

重心だけが平均で出ます。他の $3$ つは、条件を式に直してから連立する形です。

$A (0, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 、 $C (0, 8)$ の外心はどれですか。

$(2, \frac{8}{3})$
$(3, 4)$
$(2, 2)$
$(3, 3)$

__RESULT__

$A$ が直角なので、外心は斜辺 $B C$ の中点です。 $(\frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2}) = (3, 4)$ になります。 $(2, \frac{8}{3})$ は重心、 $(2, 2)$ は内心の座標で、どちらも別の点です。

よくある誤り

外心を

3

頂点の平均で出す。平均で出るのは重心だけです

外心が必ず三角形の内部にあると思う。鈍角三角形では外に出ます

距離のまま等式を立てて根号を残す。

2

乗すれば

x^{2}

と

y^{2}

が消えて一次式になります

内心を求めるのに頂点までの距離を使う。内心が等距離なのは辺までです

点と直線の距離で絶対値を外すときに符号を決めない。内部にいることから向きが決まります

辺の長さの重みを、その辺を作る頂点に付ける。重みは向かい合う辺の長さです

垂心を求めるのに

3

本すべて連立する。

2

本で決まり、

3

本目は検算に使えます

直角三角形で外心を計算しはじめる。斜辺の中点を書けば終わりです

参考文献

Circumcircle

Incircle and excircles

重心は $3$ 頂点の平均で出ますが、外心と内心は出ません。外心は $3$ 頂点から等距離、内心は $3$ 辺から等距離。測る相手が頂点か辺かの違いが、そのまま計算の違いになります。距離を $2$ 乗して等しいと置くと $x^2$ と $y^2$ が消えて一次式になる仕組み、外心が鈍角三角形で外へ出る様子、内心を辺の長さで重みをつけた平均としても出せること、垂心と $3$ 点が一直線に並ぶことまで。