文字係数の二次不等式……場合分けが起きる 2 か所

係数に文字が入ると、答えを 1 つの式で書けなくなります。$a$ の値しだいで解の形そのものが変わるため。

場合分けが起きる場所は決まっていて、二次の係数の符号と、2 つの解の大小の 2 か所です。

文字では割れない

$ax>6$ を $x>\frac{6}{a}$ とは書けません。$a$ が負なら不等号の向きが変わり、$a=0$ なら割ること自体ができない。

数のときは符号が見えているので迷いませんが、文字は符号を隠しています。割る前に $a$ の符号を場合に分ける。

1 か所目は二次の係数の符号

$a{x}^2-(a+1)x+1>0$ を解きます。左辺は因数分解できる。

$$a{x}^2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)$$

$a>0$ なら下に凸、$a<0$ なら上に凸、$a=0$ なら二次式ですらなくなります。

$a=0$ を入れると $-x+1>0$ で、一次不等式の $x<1$。二次不等式のつもりで放物線を描くと、この場合を落とします。

$x=1$ を入れると $a-(a+1)+1=0$ で、$a$ が何であっても $0$。だから $x=1$ はいつも境界の 1 つになります。

2 か所目は 2 つの解の大小

$a>0$ のとき、境界は $x=\frac{1}{a}$ と $x=1$ の 2 つ。どちらが左に来るかは $a$ で変わります。

$\frac{1}{a}$ と $1$ を比べると、$a>1$ なら $\frac{1}{a}<1$、$0<a<1$ なら $\frac{1}{a}>1$。ちょうど $a=1$ で 2 つが重なります。

下に凸で $>0$ だから外側。左右の順が入れ替わるぶん、答えの書き方も入れ替わる。

5 つの場合に分けて書く

$a$ の数直線を $0$ と $1$ で切ると、区間が 3 つと点が 2 つ。あわせて 5 通りになります。

$a<0$ の行だけ内側になっています。上に凸だと、2 つの境界にはさまれた部分で正になるため。

$a=1$ では $\frac{1}{a}=1$ で境界が重なり、$(x-1{)}^2>0$ の形。答えは $x\ne 1$ です。

大小だけで分かれる形

二次の係数に文字がなく、解のほうにだけ文字が入る形もあります。$(x-a)(x-2)<0$ がその例。

下に凸で $<0$ だから内側と決まっていますが、$a$ と $2$ のどちらが左かで書き方が変わります。

$a=2$ で解なしになるところが目印です。境界が重なった瞬間、内側の区間が幅を失う。

場合分けを漏らさない書き方

分ける場所を先に決めてから解き始めます。二次の係数を $0$ にする値、2 つの解が一致する値。この 2 種類が境目になる。

$a{x}^2-(a+1)x+1>0$ なら、係数が $0$ になるのは $a=0$、解が一致するのは $\frac{1}{a}=1$ から $a=1$。この 2 点で $a$ の数直線を切ると、区間 3 つと点 2 つの 5 通りがそろいます。

境目の点そのものを書き落としやすい。$a=0$ と $a=1$ を独立した行として立てておけば、区間の側だけで済ませずに済みます。

検算は代表の値を入れる

各場合から $a$ を 1 つずつ選んで、もとの式に入れます。

$a>1$ の代表として $a=2$ をとると $2x^2-3x+1>0$。$(2x-1)(x-1)>0$ で $x<\frac{1}{2}$ または $x>1$ になります。

表の $a>1$ の行は $x<\frac{1}{a}$ または $x>1$ で、$\frac{1}{2}$ と $1$。一致しました。

$a=-1$ も試します。$-x^2+1>0$ から $x^2<1$ で $-1<x<1$。表の $a<0$ の行は $\frac{1}{a}<x<1$ で、$\frac{1}{-1}=-1$。こちらも合っています。

文字が 1 つ入るだけで、答えは 5 行に増えました。分ける場所は係数を $0$ にする値と解が一致する値の 2 種類しかないので、そこを先に押さえてから解き始めます。