整数解がちょうど 3 個になるのはいつか？定数を両側から詰める

次の問題を解きます。

$x^2-(a+1)x+a<0$ を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個であるような、実数 $a$ の範囲を求めよ。

左辺は $(x-1)(x-a)$ と分解できます。解は $1$ と $a$ にはさまれた区間ですが、どちらが左でどちらが右かは $a$ の値しだい。

そのうえで、区間に整数が何個入るかを数えます。区間の端が $a$ とともに動くので、$a$ をどこまで動かすと整数が $1$ 個増えるか、という数え方になります。

2 解の大小で区間が入れ替わる

$x^2$ の係数は $1$ で正なので、$<0$ の解は $2$ 解の内側です。$2$ 解は $1$ と $a$。

$a>1$ なら $1<x<a$、$a<1$ なら $a<x<1$。$a=1$ のときは $(x-1{)}^2<0$ となって解がありません。

固定されているのは $1$ のほうです。$a$ が動くと、区間は $1$ を起点に右へ伸びたり左へ伸びたりします。

白丸が $a$、上の黒い点が固定された $1$ です。橙の点が区間に入った整数。

$a$ が右へ伸びると右側の整数を拾い、左へ伸びると左側を拾います。個数がちょうど $3$ になったところで帯が緑に変わる。

緑になる場所が左右に $1$ か所ずつあります。この $2$ 区間が答えです。

場合 1：$a>1$ のとき

解は $1<x<a$ です。$1$ より大きい整数は $2$ から順に並ぶので、区間に入るのは $2,3,4,\dots$ のうち $a$ より小さいものになります。

ちょうど $3$ 個にしたいので、入るべきは $2$、$3$、$4$ の $3$ つ。$5$ は入ってはいけません。

$a=4$ では右端が $4$ にちょうど重なり、区間が開いているので $4$ は入りません。整数は $2$ と $3$ の $2$ 個。

$a=4.6$ で $4$ が入り、$3$ 個になります。$a=5$ でも右端が開いているので $5$ は入らず、まだ $3$ 個のまま。

$a$ が $5$ をわずかでも越えると $5$ が入って $4$ 個になります。したがって条件は次のとおり。

$$4<a\le 5$$

$4$ の側が開き、$5$ の側が閉じています。$4$ は「入れたい整数」の位置、$5$ は「入れたくない整数」の位置で、開き閉じが逆になる。

場合 2：$a=1$ のとき

$(x-1{)}^2<0$ となり、解がありません。整数は $0$ 個なので条件を満たしません。

見落としやすい場合ですが、$a>1$ と $a<1$ に分けた時点で境目として残ります。ひとこと書いて先へ進みます。

場合 3：$a<1$ のとき

解は $a<x<1$ です。$1$ より小さい整数は $0$ から下へ並ぶので、区間に入るのは $0,-1,-2,\dots$ のうち $a$ より大きいものになります。

ちょうど $3$ 個なら $0$、$-1$、$-2$ の $3$ つ。$-3$ は入ってはいけません。

$a=-2$ では左端が $-2$ に重なり、開いているので $-2$ は入りません。整数は $-1$ と $0$ の $2$ 個。

$a=-2.6$ で $-2$ が入って $3$ 個。$a=-3$ でも左端が開いているので $-3$ は入らず、$3$ 個のままです。

$a$ が $-3$ より小さくなると $-3$ が入って $4$ 個になります。

$$-3\le a<-2$$

等号は $1$ から遠い側に付く

$2$ つの範囲を並べます。

どちらも、$1$ に近い端が開き、$1$ から遠い端が閉じています。左右で不等号の向きは逆でも、開き閉じの付き方には同じ規則が働いている。

近い端は「$3$ 個目の整数を入れる」条件から来ます。ちょうど重なると入らないので、厳しい不等号になる。

遠い端は「$4$ 個目を入れない」条件から来ます。ちょうど重なっても入らないので、等号を許せる。

この向きをとり違えると、答えの端が $2$ か所とも逆になります。境目の値を代入して数え直せば、その場で確かめられます。

答えを合わせる

場合分けの結果は「または」でつなぎます。

$$-3\le a<-2\text{または}4<a\le 5$$

$a=1$ の場合は $0$ 個だったので、答えに入りません。

灰色の点が固定された $1$ です。答えの $2$ 区間はその両側にあり、$1$ から遠いほうの端が黒丸、近いほうが白丸になっています。

個数は階段状に変わる

$a$ を $-6$ から $8$ まで動かしながら、整数の個数を追ってみます。

個数は $a$ とともに滑らかには変わりません。区間の端が整数をまたいだ瞬間だけ $1$ 段ずつ動きます。

だから答えは必ず「隣り合う $2$ つの整数ではさんだ範囲」になります。$3$ 個になるのは、端が $4$ と $5$ のあいだ、または $-3$ と $-2$ のあいだにいるとき。

境目で確かめる

答えの端 $4$ つを代入して数え直します。

$a=4$ なら $1<x<4$ で整数は $2,3$ の $2$ 個。だから範囲から外れています。

$a=5$ なら $1<x<5$ で $2,3,4$ の $3$ 個。こちらは範囲に入ります。

$a=-2$ なら $-2<x<1$ で $-1,0$ の $2$ 個。外れています。

$a=-3$ なら $-3<x<1$ で $-2,-1,0$ の $3$ 個。入っています。

$4$ つとも表と合いました。この検算は $1$ 分もかかりません。

類題

$x^2-(a+2)x+2a\le 0$ を満たす整数がちょうど $4$ 個であるような $a$ の範囲を求めよ。

左辺は $(x-2)(x-a)$ です。今度は等号つきなので、端点も数に入ります。

$a>2$ なら $2\le x\le a$ で、整数は $2,3,\dots$。$4$ 個なら $2,3,4,5$ で、$5\le a<6$。

$a<2$ なら $a\le x\le 2$ で、整数は $\dots ,1,2$。$4$ 個なら $-1,0,1,2$ で、$-2<a\le -1$。

$a=2$ なら解は $x=2$ の $1$ 個で、条件を満たしません。

答えは $-2<a\le -1$ または $5\le a<6$ です。等号つきになったぶん、開き閉じがさきほどと入れ替わっています。

よくある誤り

参考文献