絶対値つきの二次不等式〜解が 2 区間から 1 区間へ変わる境目

次の問題を解きます。

$|x^2-2x-3|\le a$ の解が $2$ つの区間になるような、実数 $a$ の範囲を求めよ。

解を求めるだけなら、はさんで $2$ 本に分ければ済みます。難しいのは「$2$ つの区間になる」という条件のほう。

$a$ を大きくしていくと、あるところで区間が $2$ つから $1$ つへつながります。そのつながる瞬間を見つける問題です。

はさんで 2 本に分ける

$a>0$ とします。$|A|\le a$ は $-a\le A\le a$ なので、次の形になります。

$$-a\le x^2-2x-3\le a$$

真ん中に $x$ の式があるので、左半分と右半分に切って別々に解きます。

上側は $x^2-2x-3\le a$、つまり $x^2-2x-3-a\le 0$ です。判別式を見ます。

$$\frac{D}{4}=1+3+a=4+a$$

$a>0$ なのでこれは必ず正。解は $2$ つの実数解にはさまれた区間になります。

$$1-\sqrt{4+a}\le x\le 1+\sqrt{4+a}$$

下側の不等式で場合が分かれる

下側は $x^2-2x-3\ge -a$、つまり $x^2-2x-3+a\ge 0$ です。こちらの判別式は様子が違います。

$$\frac{D}{4}=1-(-3+a)=4-a$$

$a$ が $4$ より小さいか大きいかで、符号が変わります。ここが分かれ目です。

$a<4$ なら $D>0$ で、下に凸の放物線が $x$ 軸を $2$ 点で切ります。$\ge 0$ の解は外側。

$$x\le 1-\sqrt{4-a}\text{または}x\ge 1+\sqrt{4-a}$$

$a\ge 4$ なら $D\le 0$ で、放物線は $x$ 軸を割りません。$\ge 0$ はすべての実数で成り立ちます。

つまり下側の不等式は、$a$ が小さいうちは真ん中に穴を空け、$a$ が $4$ 以上になると何も削らなくなる。

共通部分をとる

$0<a<4$ のとき、上側の区間から下側が空けた穴を抜きます。

$$1-\sqrt{4+a}\le x\le 1-\sqrt{4-a},1+\sqrt{4-a}\le x\le 1+\sqrt{4+a}$$

$2$ つの区間が残りました。真ん中の $1-\sqrt{4-a}<x<1+\sqrt{4-a}$ が抜けています。

$a\ge 4$ のときは下側が何も削らないので、上側の区間がそのまま残ります。

$$1-\sqrt{4+a}\le x\le 1+\sqrt{4+a}$$

こちらは $1$ つの区間です。答えは $0<a<4$ になります。

グラフで見ると山の高さが境目

$y=|x^2-2x-3|$ のグラフを描くと、この $4$ という数の正体が見えます。

もとの放物線は $(x-1{)}^2-4$ で、頂点は $(1,-4)$。絶対値をつけると $x$ 軸より下の部分が上へ折り返され、頂点が高さ $4$ の山になります。

破線がもとの放物線、太い線が絶対値をつけたものです。$-1$ と $3$ のあいだの谷が、そっくり山へ裏返っています。

山の高さは $4$。もとの頂点が $-4$ だったので、折り返して $+4$ になりました。

水平線を上げると区間がつながる

$|x^2-2x-3|\le a$ の解は、この山の形が $y=a$ の水平線より下にある部分です。

水平線が山の頂上より低いあいだ、山が水面から顔を出しているので、下の部分は左右に分かれます。線が頂上を越えた瞬間、山が沈んで $1$ つにつながる。

$x$ 軸の上の太い帯が解です。水平線が低いうちは帯が $2$ つに割れていて、$4$ を越えると $1$ 本につながります。

割れているのは、山の左右の斜面が水平線と交わって、あいだが水面より上に出ているからです。

3 つの高さで並べて見る

下の数字が区間の個数です。$a=2$ で $2$ つ、$a=4$ でちょうどつながって $1$ つ、$a=6$ でも $1$ つ。

$a=4$ は水平線が山の頂上をかすめる位置です。頂点の $1$ 点で触れるだけなので、そこは切れ目になりません。区間としては $1$ つに数えます。

数式のほうでも同じことが起きていました。下側の不等式の判別式 $4-a$ が $0$ になる値が $a=4$ で、そこから穴が消えます。

$a$ が $0$ 以下のとき

$a=0$ なら $|x^2-2x-3|\le 0$ です。絶対値は $0$ 以上なので、$0$ になる場合だけ。

$$x^2-2x-3=0,x=-1,3$$

解は $2$ 点です。$2$ か所に分かれてはいますが、区間ではありません。区間には幅が要ります。

$a<0$ なら左辺は $0$ 以上、右辺は負なので解なし。どちらも「$2$ つの区間」には当たりません。

答え

$$0<a<4$$

$0$ の側も $4$ の側も等号が付きません。$0$ では点になり、$4$ ではつながってしまうためです。

具体的な $a$ で確かめる

$a=2$ で計算します。$\sqrt{4+2}=\sqrt{6}\approx 2.449$、$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\approx 1.414$ です。

$$1-\sqrt{6}\le x\le 1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\le x\le 1+\sqrt{6}$$

およそ $-1.449\le x\le -0.414$ と $2.414\le x\le 3.449$。確かに $2$ 区間です。

$x=1$ を入れて確かめます。$|1-2-3|=4$ で、$4\le 2$ は成り立ちません。だから区間から抜けています。

$a=4$ で計算すると $\sqrt{8}\approx 2.828$、$\sqrt{0}=0$ です。穴の幅が $0$ になり、$1-\sqrt{8}\le x\le 1+\sqrt{8}$ の $1$ 区間になります。

$x=1$ を入れると $4\le 4$ で成立。さきほど抜けていた点が、ちょうど入りました。

山の高さから直接読む

グラフの見方に慣れると、計算せずに答えが出せます。

区間が $2$ つに分かれるのは、水平線が山の頂上より低いとき。山の高さはもとの放物線の頂点の $y$ 座標の絶対値で、ここでは $4$ です。

さらに、水平線が $0$ より上にある必要もあります。$a=0$ では帯が点になってしまう。

$$0<a<4$$

もとの二次式の最小値が $-4$ である、という一点さえ押さえれば、$2$ 行で終わります。判別式の計算は、この見方の裏づけになっています。

類題

$|x^2-4x|\le a$ の解が $2$ つの区間になる $a$ の範囲を求めよ。

$x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ で、最小値は $-4$。折り返した山の高さも $4$ です。

答えは $0<a<4$。もとの式が違っても、頂点の深さが同じなら境目も同じになります。

$|x^2-6x+5|\le a$ ならどうか。$(x-3{)}^2-4$ なので、これも山の高さは $4$。答えは同じく $0<a<4$ です。

$3$ つとも頂点の $y$ 座標が $-4$ でした。平行移動しただけの式なので、区間の位置は動いても切り替わる高さは動きません。

よくある誤り

参考文献