2 文字の二次不等式は判別式を 2 回使う｜高校数学の難問

次の問題を解きます。

すべての実数 $x$ 、 $y$ に対して $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 x + a y + 1 \geq 0$ が成り立つような、実数 $a$ の値を求めよ。

文字が $x$ と $y$ の $2$ つあります。判別式は $1$ 文字の二次式に対する道具なので、そのままでは当てられません。

やり方は、片方を定数だと思って整理すること。 $x$ の二次式と見れば判別式が使えます。ただし出てくる条件に $y$ が残るので、そこでもう一度使う。判別式を $2$ 回重ねる形になります。

片方の文字について整理する

$x$ について整理します。 $y$ は定数だと思って、 $x$ の次数ごとにまとめる。

$x^{2} + 2 (y + 1) x + (2 y^{2} + a y + 1) \geq 0$

$x^{2}$ の係数は $1$ で正です。この二次式がすべての $x$ で $0$ 以上になる条件は、判別式が $0$ 以下であること。

$\frac{D _{x}}{4} = (y + 1)^{2} - (2 y^{2} + a y + 1)$

展開して整理します。

$(y^{2} + 2 y + 1) - (2 y^{2} + a y + 1) = - y^{2} + (2 - a) y$

条件は $- y^{2} + (2 - a) y \leq 0$ です。 $x$ が消えて、 $y$ だけの不等式が残りました。

$y$ を $1$ つ決めるごとに、 $x$ の放物線が $1$ 本決まります。それを $y$ とともに動かした様子です。

緑が $a = 2$ 、橙が $a = 0$ 。緑はどの $y$ でも $x$ 軸に届かないか、触れるだけです。橙は $y$ が $0$ と $2$ のあいだにいるとき、 $x$ 軸を割って下へ潜ります。

割ったところに、条件を満たさない $x$ が現れます。 $a = 0$ が答えでないのは、この一瞬があるためです。

2 段目： $y$ についての判別式

残った条件を書き直します。両辺に $- 1$ を掛けると向きが変わります。

$y^{2} - (2 - a) y \geq 0$

これがすべての実数 $y$ で成り立つ条件を書きます。 $y^{2}$ の係数は $1$ で正なので、判別式が $0$ 以下。

$D_{y} = (2 - a)^{2} \leq 0$

平方は $0$ 以上なので、 $0$ 以下になるのは $0$ のときだけです。

$(2 - a)^{2} = 0, a = 2$

答えが範囲ではなく $1$ 点に決まりました。判別式の条件が $2$ 段目で $= 0$ に絞られたためです。

$1$ 段目で出た $- y^{2} + (2 - a) y$ を、 $a$ を変えて描いたものです。この式が $y$ 軸の上側へ出てはいけません。

左の $a = 2$ では $- y^{2}$ となり、原点で触れるだけで上へは出ません。右の $a = 1$ では山が $x$ 軸の上へ突き出しています。

突き出した部分の $y$ を選ぶと、 $1$ 段目の条件が破れます。 $a$ が $2$ からずれると、必ずこの突き出しが生まれる。

平方の和に直して確かめる

$a = 2$ を代入して、もとの式を変形します。

$x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 x + 2 y + 1$

$x$ と $y$ と $1$ の組み合わせで平方が作れないか探します。 $(x + y + 1)^{2}$ を展開してみます。

$(x + y + 1)^{2} = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y + 2 x + 2 y$

もとの式から引くと $y^{2}$ が残ります。つまり次のように書けます。

$x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = (x + y + 1)^{2} + y^{2}$

平方の和なので、いつでも $0$ 以上。判別式を $2$ 回使って得た結論と一致しました。

この形が見つかると、証明が $1$ 行で済みます。ただし見つけるには試行が要るので、判別式を $2$ 回使う道のほうが確実です。

等号が成り立つ点

$(x + y + 1)^{2} + y^{2} = 0$ となるのは、 $2$ つの平方がどちらも $0$ のときだけです。

$y = 0, x + y + 1 = 0$

$y = 0$ を $2$ 本目に入れて $x = - 1$ 。等号は $(x, y) = (- 1, 0)$ の $1$ 点だけで成り立ちます。

同じ値をとる点を結ぶと、傾いた楕円が並びます。中心が $(- 1, 0)$ で、外側の輪ほど値が大きい。

いちばん内側の輪が縮んで点になったところが最小値の場所です。そこで値が $0$ になり、それより小さくはなりません。

$a$ が $2$ からずれると、この受け皿が一方向へ傾いて底が抜けます。どこまでも小さい値をとれるようになり、条件が壊れる。

$y$ から始めても同じ答えになる

整理する文字を入れ替えても結論は変わりません。確かめてみます。

$y$ について整理します。

$2 y^{2} + (2 x + a) y + (x^{2} + 2 x + 1) \geq 0$

$y^{2}$ の係数は $2$ で正なので、判別式が $0$ 以下という条件になります。

$D_{y} = (2 x + a)^{2} - 8 (x^{2} + 2 x + 1) = - 4 x^{2} + (4 a - 16) x + a^{2} - 8$

これが $0$ 以下になる条件を、 $x$ の不等式として書きます。両辺に $- 1$ を掛けて向きを変えます。

$4 x^{2} - (4 a - 16) x - a^{2} + 8 \geq 0$

すべての $x$ で成り立つ条件は判別式が $0$ 以下です。

$(4 a - 16)^{2} - 16 (- a^{2} + 8) = 32 a^{2} - 128 a + 128 = 32 (a - 2)^{2} \leq 0$

$a = 2$ となり、一致しました。どちらの文字から始めても同じところへ着きます。

係数が簡単なほうから始めると計算が軽くなります。今回は $x^{2}$ の係数が $1$ だったので、 $x$ から始めるほうが楽でした。

手順の全体

片方の文字について次数ごとに整理する

その文字の二次式として判別式を書き、 $0$ 以下と置く

残ったもう片方の文字の不等式を、同じ手順で処理する

$2$ 段目の判別式から定数を決める

$1$ 段目と $2$ 段目で、係数の符号の確認を忘れないところが要です。 $2$ 段目では $- 1$ を掛けて向きを変えるので、そこでも符号を見ます。

類題

すべての実数 $x$ 、 $y$ に対して $x^{2} + 4 y^{2} + 2 x y + 2 x + a y + 3 \geq 0$ が成り立つ $a$ の範囲を求めよ。

$x$ について整理します。

$x^{2} + 2 (y + 1) x + (4 y^{2} + a y + 3) \geq 0$

$1$ 段目の判別式を書きます。

$\frac{D _{x}}{4} = (y + 1)^{2} - (4 y^{2} + a y + 3) = - 3 y^{2} + (2 - a) y - 2 \leq 0$

$- 1$ を掛けて $3 y^{2} - (2 - a) y + 2 \geq 0$ 。 $y^{2}$ の係数は $3$ で正なので、 $2$ 段目の判別式を書きます。

$(2 - a)^{2} - 24 \leq 0, (2 - a)^{2} \leq 24$

$∣2 - a ∣ \leq 26$ より、答えは $2 - 26 \leq a \leq 2 + 26$ です。

さきほどは $1$ 点でしたが、今度は範囲になりました。 $2$ 段目の不等式の定数項が $0$ でないと、こうして幅が出ます。

$6 \approx 2.449$ なので、およそ $- 2.9 \leq a \leq 6.9$ 。 $a = 2$ を入れると $- 3 y^{2} - 2 \leq 0$ となり、確かに成り立ちます。

すべての実数 $x$ 、 $y$ に対して $x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} + 2 x + b y + 3 \geq 0$ が成り立つ $b$ の範囲はどれですか。

$b = 2$
$- 2 \leq b \leq 6$
$- 4 \leq b \leq 4$
$b \geq - 2$

__RESULT__

$x$ について整理して $\frac{D _{x}}{4} = (y + 1)^{2} - (3 y^{2} + b y + 3) = - 2 y^{2} + (2 - b) y - 2 \leq 0$ です。 $- 1$ を掛けた $2 y^{2} - (2 - b) y + 2 \geq 0$ の判別式が $(2 - b)^{2} - 16$ で、 $0$ 以下から $∣2 - b ∣ \leq 4$ 。定数項が残ったので、答えは $1$ 点ではなく幅のある範囲になります。

よくある誤り

2

文字のまま判別式を当てる。判別式は

1

文字の二次式に対する道具です

整理したあと、その文字の

2

乗の係数の符号を確かめない。正でなければ条件の向きが変わります

1

段目で

D \leq 0

を

D < 0

と書く。等号つきの不等式なら、接する場合も許されます

2

段目で

- 1

を掛けたときに不等号を戻し忘れる。向きは必ず変わります

1

段目の判別式が定数になると思う。もう片方の文字が残ります

平方の和の形を探すのに時間をかけすぎる。見つからないときは判別式を

2

回使います

答えが範囲になるか

1

点になるかを決めつける。

2

段目の式しだいで両方あります

整理する文字を選び直さない。係数の簡単なほうから始めると計算が短くなります

参考文献

Definite quadratic form

Quadratic function

Quadratic equation

Diskriminante

Fonction du second degré

一元二次方程

$x$ と $y$ が混ざった式に判別式はそのまま当てられません。片方を定数と思って整理すれば $1$ 文字の二次式になり、判別式が使えます。ただし出てきた条件にもう片方の文字が残るので、そこでもう一度。$2$ 段目の判別式が $(2-a)^2 \leq 0$ となって、答えが範囲ではなく $1$ 点に絞られます。平方の和 $(x+y+1)^2 + y^2$ に直す確かめ方、整理する文字を入れ替えても同じ答えに着くことまで。