区間の中だけで成り立てばよい、判別式が使えない二次不等式

次の問題を解きます。

$0\le x\le 2$ を満たすすべての $x$ について $x^2-2ax+a+2>0$ が成り立つような、実数 $a$ の範囲を求めよ。

「すべての $x$ で成り立つ」と書いてあるので判別式に手が伸びます。ところが $x$ の範囲が $0$ から $2$ に限られているため、判別式では決まりません。

範囲が限られていると、$x$ 軸を割る場所が区間の外にあってもよいからです。交点があること自体は、この不等式を壊しません。

判別式が効かない理由を図で見る

$a=3$ とすると $f(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ です。判別式は正で、$x$ 軸と $2$ 点で交わります。

交点は $x=1$ と $x=5$。このうち $x=1$ は区間 $0\le x\le 2$ の中にあるので、そこで $f(x)=0$ となり不等式が崩れます。

では $a=-3$ ならどうか。$f(x)=x^2+6x-1$ で、判別式は $36+4=40$ で正。交点は $x=-3\pm \sqrt{10}$、およそ $0.16$ と $-6.16$ です。

$0.16$ が区間の中に入っているので、これも崩れます。ただし交点が区間の外へ出ていれば、判別式が正でも不等式は成り立つ。判別式は交点の有無しか見ておらず、位置を見ていません。

左は交点が区間の中にある場合、右は外にある場合です。どちらも判別式は正ですが、右は区間の中でずっと正のままです。

薄く塗った縦帯が $0\le x\le 2$。この帯の中だけを見ればよい。それがこの問題の読み方です。

見るべきは区間の中の最小値

区間の中で $f(x)$ がいつも正であることと、区間の中の最小値が正であることは同じです。いちばん低い場所が $x$ 軸より上なら、他は自動的に上にある。

だから手順は $2$ 段になります。区間の中で最小値をとる場所を突き止め、その値が正になる条件を書く。

平方完成します。

$$f(x)=x^2-2ax+a+2=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$

頂点の $x$ 座標は $a$ です。この $a$ が区間 $0\le x\le 2$ のどこにあるかで、最小値をとる場所が変わります。

$a$ を動かすと放物線が左右に動き、同時に上下にも動きます。丸が区間の中の最小値をとる点。

緑のあいだは条件を満たし、橙になると帯の中で $x$ 軸を割っています。丸が帯の左端に張りついたり、帯の中を移動したり、右端に移ったりする様子が $3$ つの場合に当たります。

頂点の位置で 3 つに分かれる

頂点が帯の左にあれば、帯の中では右上がりなので最小は左端 $f(0)$。帯の中にあれば頂点そのもの $f(a)$。右にあれば帯の中は右下がりで、最小は右端 $f(2)$ です。

下に書いた式が、それぞれの場合に調べる値になります。

場合 1：頂点が区間の左（$a<0$）

区間の中で $f$ は増加しているので、最小値は $f(0)$ です。

$$f(0)=a+2>0,a>-2$$

この場合の前提が $a<0$ なので、両方を満たすのは $-2<a<0$ です。

前提と結果を重ねるところを飛ばすと、$a>-2$ をそのまま答えに混ぜてしまいます。各場合の答えは、その場合の中だけで有効です。

場合 2：頂点が区間の中（$0\le a\le 2$）

最小値は頂点の高さ $f(a)=-a^2+a+2$ です。

$$-a^2+a+2>0,a^2-a-2<0$$

因数分解すると $(a-2)(a+1)<0$ で、$-1<a<2$。

前提 $0\le a\le 2$ と重ねると $0\le a<2$ です。$a=2$ が落ちるところが要点で、そこでは頂点が右端に乗って値が $0$ になります。

場合 3：頂点が区間の右（$a>2$）

区間の中で $f$ は減少しているので、最小値は $f(2)$ です。

$$f(2)=4-4a+a+2=6-3a>0,a<2$$

前提は $a>2$ でした。$a<2$ と同時には成り立ちません。この場合に当てはまる $a$ はありません。

$3$ 番目が空になるのは珍しいことではありません。空だと分かった時点で、その場合は答えに寄与しないと書いて先へ進みます。

3 つを合わせる

$3$ 本を並べると、$1$ 本目と $2$ 本目が $a=0$ でぴったり継ぎ合わさっています。$3$ 本目は空。

場合分けの答えは「または」でつなぎます。共通部分ではなく、合わせたものが答えです。

$$-2<a<2$$

境目の値で確かめる

答えの端を代入します。$a=2$ なら $f(x)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ で、$x=2$ のとき $0$。$>0$ を満たさないので、$a=2$ が外れているのは正しい。

$a=-2$ なら $f(x)=x^2+4x=x(x+4)$ で、$x=0$ のとき $0$。こちらも外れています。

内側でも試します。$a=0$ なら $f(x)=x^2+2$ で、どこでも $2$ 以上。確かに成り立ちます。

$a=1.9$ なら頂点は $x=1.9$ で区間の中、最小値は $-3.61+1.9+2=0.29$ で正。ぎりぎり成り立っています。

「ある $x$ で成り立つ」に変えると答えが反転する

同じ式で、問題文を「$0\le x\le 2$ を満たすある $x$ について $x^2-2ax+a+2\le 0$ が成り立つ」に変えてみます。

これはもとの条件の否定です。「すべての $x$ で $>0$」の反対は「$\le 0$ になる $x$ が少なくとも $1$ つある」。

$$a\le -2\text{または}a\ge 2$$

もとの答えの外側がそのまま答えになりました。等号の位置も入れ替わっています。

どちらも最小値を見る点は同じで、不等号の向きだけが変わります。問題文の「すべて」と「ある」を読み分けるところが分かれ目です。

類題 1

$1\le x\le 3$ を満たすすべての $x$ について $x^2-2ax+4>0$ が成り立つ $a$ の範囲を求めよ。

頂点は $x=a$、最小値は場合ごとに $f(1)=5-2a$、$f(a)=4-a^2$、$f(3)=13-6a$ です。

答えは $a<2$ です。$a=2$ で頂点が区間の中に入り、$f(2)=0$ になります。

類題 2

$-1\le x\le 1$ を満たすすべての $x$ について $x^2+ax+a>0$ が成り立つ $a$ の範囲を求めよ。

頂点は $x=-\frac{a}{2}$ です。区間の中に入るのは $-1\le -\frac{a}{2}\le 1$、つまり $-2\le a\le 2$ のとき。

$a<-2$ なら最小は $f(1)=1+2a$ で、$a>-\frac{1}{2}$ が要ります。前提と矛盾するのでなし。

$-2\le a\le 2$ なら最小は $-\frac{a^2}{4}+a$ で、$a^2-4a<0$ より $0<a<4$。重ねて $0<a\le 2$。

$a>2$ なら最小は $f(-1)=1$ で、これは正。前提がそのまま残って $a>2$。

答えは $a>0$ です。$3$ 番目が丸ごと残る形になりました。

よくある誤り

参考文献