連立二次不等式は数直線を重ねて共通部分をとる

連立不等式は「かつ」でつながれています。2 本の不等式を同時に満たす $x$ を探す、という意味。

だから手順は 2 段になります。それぞれを別々に解き、そのあと数直線の上で重ねて、両方が生きている場所を拾う。

それぞれ解いてから重ねる

$x^{2} - x - 6 < 0$ と $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ を連立します。

1 本目は $(x - 3) (x + 2) < 0$ で、下に凸の $< 0$ だから内側の $- 2 < x < 3$ 。

2 本目は $(x - 1) (x - 3) > 0$ で外側。 $x < 1$ または $x > 3$ 。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… mark …)

上の 2 本が重なっているのは $- 2 < x < 1$ のところだけ。 $x > 3$ の側は 2 本目だけが生きていて、1 本目が切れています。

$- 2 < x < 1$

$x = 0$ で確かめます。1 本目は $- 6 < 0$ 、2 本目は $3 > 0$ で、どちらも成り立つ。 $x = 4$ なら 1 本目が $6 < 0$ となって崩れます。

等号が食い違うと端点が落ちる

$x^{2} - 4 \leq 0$ と $x > - 2$ を連立します。1 本目は $- 2 \leq x \leq 2$ 、2 本目は $- 2$ を含まない。

重ねると左端の $- 2$ が落ち、 $- 2 < x \leq 2$ に変わる。左が白丸、右が黒丸という、左右で違う形です。

端点では、含まないほうの条件が残る。片方でも外していれば、その点は「かつ」を満たしません。

共通部分が空になることもある

$x^{2} - 4 < 0$ と $x^{2} - 9 > 0$ を連立します。1 本目は $- 2 < x < 2$ 、2 本目は $x < - 3$ または $x > 3$ 。

数直線に並べると、2 つの範囲は離れたまま重なりません。答えは解なし。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… plan.label …)

それぞれの不等式には解があるのに、連立すると解なしになる。片方だけを見て答えを書かないところが、この形の目印です。

一次と二次を連立する

$x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ と $2 x - 3 > 0$ を連立します。

1 本目は $(x - 1) (x - 4) \leq 0$ で $1 \leq x \leq 4$ 。2 本目は $x > \frac{3}{2}$ 。

重ねると左端が $\frac{3}{2}$ に切り替わる。

$\frac{3}{2} < x \leq 4$

次数が違っても、数直線に並べたあとの扱いは変わりません。それぞれの解を区間として書けば、あとは重ねるだけ。

$x^{2} - 9 \leq 0$ と $x^{2} - x - 2 > 0$ を連立した解はどれですか。

$- 3 \leq x < - 1$
$- 3 \leq x < - 1$ または $2 < x \leq 3$
$2 < x \leq 3$

__RESULT__

1 本目は $- 3 \leq x \leq 3$ 、2 本目は $(x - 2) (x + 1) > 0$ から $x < - 1$ または $x > 2$ です。重ねると左右に 1 つずつ残り、2 区間になります。片側だけを答えると 1 番目や 3 番目の形になる。

両方が 2 区間に割れる場合

$x^{2} - 1 > 0$ と $x^{2} - 9 < 0$ を連立します。

1 本目は $x < - 1$ または $x > 1$ 。2 本目は $- 3 < x < 3$ 。

外側と内側を重ねると、両端が削られて 2 つの区間が残る。

$- 3 < x < - 1 または 1 < x < 3$

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… plan.label …)

答えが 2 区間になるときは「または」でつなぎます。1 本の不等式で $- 3 < x < 3$ のように書くと、 $- 1$ から $1$ までの入らない範囲まで巻きこんでしまう。

真ん中に式がある形

$1 \leq x^{2} - 2 x + 2 \leq 5$ も連立です。 $1 \leq \dots$ と $\dots \leq 5$ の 2 本に割ります。

左辺を平方完成すると $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ 。

1 本目は $(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ 、つまり $(x - 1)^{2} \geq 0$ で、これはすべての実数で成り立つ。

2 本目は $(x - 1)^{2} + 1 \leq 5$ から $(x - 1)^{2} \leq 4$ 。 $- 2 \leq x - 1 \leq 2$ より $- 1 \leq x \leq 3$ 。

すべての実数と $- 1 \leq x \leq 3$ を重ねて、答えは $- 1 \leq x \leq 3$ になります。

片方がすべての実数になったときは、もう片方がそのまま答え。この形も数直線に並べれば見分けがつきます。

3 本以上でも同じ

本数が増えても手順は変わりません。すべてを解いて数直線に並べ、全部の線が引かれている場所を拾う。

1 本でも切れていれば、そこは答えから外れる。線が短い条件から重ねていくと、範囲が早く絞れます。

「かつ」と「または」で結果が変わる

同じ 2 本でも、つなぐ言葉が変わると答えが変わります。 $- 2 < x < 3$ と $x < 1$ で比べます。

「かつ」なら両方が生きている $- 2 < x < 1$ 。「または」ならどちらかが生きていればよく、 $x < 3$ になります。

かつ（連立）

両方の線が引かれている場所。範囲は狭くなる

または

どちらかの線が引かれていれば入る。範囲は広くなる

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… way.label …)

連立と書いてあれば「かつ」です。1 つの二次不等式の解が $x < 2$ または $x > 3$ のように 2 区間へ割れるのは「または」で、こちらは連立ではありません。

連立してから整数を数える

$x^{2} - x - 6 < 0$ と $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ の共通部分は $- 2 < x < 1$ でした。この中の整数は $- 1$ と $0$ の 2 個。

先に片方だけで数えると個数が合いません。 $- 2 < x < 3$ の整数は $- 1$ 、 $0$ 、 $1$ 、 $2$ の 4 個で、2 個ぶん多く数えてしまう。

数えるのは重ねたあと。端点が整数のときは、等号の有無も見ておきます。

$x^{2} \leq 16$ と $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ を連立したとき、共通部分に入る整数は何個ありますか。

3 個
4 個
5 個

__RESULT__

1 本目は $- 4 \leq x \leq 4$ 、2 本目は $(x - 3) (x + 1) > 0$ から $x < - 1$ または $x > 3$ です。重ねると $- 4 \leq x < - 1$ と $3 < x \leq 4$ 。前者の整数は $- 4$ 、 $- 3$ 、 $- 2$ の 3 個、後者は $4$ の 1 個で、あわせて 4 個になります。

検算は共通部分の内と外で

答えが $- 2 < x < 1$ なら、内側から $x = 0$ 、外側から $x = 2$ を選んで両方の式に入れます。

$x = 0$ は 1 本目が $- 6 < 0$ 、2 本目が $3 > 0$ でどちらも成り立つ。 $x = 2$ は 1 本目が $- 4 < 0$ で成り立ちますが、2 本目が $4 - 8 + 3 = - 1 > 0$ で崩れます。

外側の点では、どちらか一方が崩れる形になる。両方とも成り立ってしまうなら、共通部分をどこかで狭めすぎています。

連立は「かつ」なので、それぞれを別々に解いてから数直線に並べ、両方の線が引かれている場所を拾います。$x^2-x-6<0$ と $x^2-4x+3>0$ なら $-2<x<3$ と $x<1,\ x>3$ が重なる $-2<x<1$。等号が食い違えば端点が落ち、範囲が離れていれば解なしになります。外側と内側が重なると答えが 2 区間に割れる。$1 \leq x^2-2x+2 \leq 5$ のように真ん中に式がある形を 2 本に割る手順、整数を数えるのは重ねたあとという順序まで。