二次不等式の解が別の解に「含まれる」条件を求める

次の問題を解きます。

$x^2-3x+2\le 0$ の解が $x^2-(a+2)x+2a\le 0$ の解に含まれるような、実数 $a$ の範囲を求めよ。

$2$ つの不等式を別々に解くところまでは、いつもどおりです。難しいのは「含まれる」という条件を式に直すところ。

数直線に $2$ つの区間を描いて、片方がもう片方をすっぽり覆っているかを見ます。覆う側の区間が $a$ とともに伸び縮みするので、どこまで縮んでも覆えるかを詰める形になります。

それぞれを解く

$1$ つ目は因数分解できます。

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\le 0,1\le x\le 2$$

この区間を $P$ と呼びます。$a$ を含まないので、位置も長さも動きません。

$2$ つ目も分解します。定数項が $2a$、$x$ の係数が $-(a+2)$ なので、足して $a+2$、掛けて $2a$ になる $2$ 数は $2$ と $a$ です。

$$(x-2)(x-a)\le 0$$

こちらを $Q$ と呼びます。$2$ 解のうち片方が固定された $2$、もう片方が動く $a$。

$Q$ の形は $a$ で変わる

$x^2$ の係数は $1$ で正なので、$\le 0$ の解は $2$ 解にはさまれた区間です。ただし、どちらが左かは $a$ しだい。

$a$ が $2$ より右にあれば区間は $2$ から $a$ まで、左にあれば $a$ から $2$ まで。$a=2$ では区間がつぶれて $1$ 点になります。

$$a>2:2\le x\le a,a=2:x=2,a<2:a\le x\le 2$$

$a\ge 2$ の場合は覆えない

$P$ は $1\le x\le 2$ です。左端の $1$ が入っているかを見ます。

$a>2$ のとき $Q$ は $2$ から右へ伸びる区間で、$1$ を含みません。$P$ の左半分がはみ出すので、包含は成り立たない。

$a=2$ のとき $Q$ は $x=2$ の $1$ 点だけ。$P$ は幅のある区間なので、$1$ 点に収まるはずがありません。

この $2$ つは、計算せずに図だけで落とせます。$Q$ が $2$ より左へ届いていないことが決め手です。

$a<2$ の場合が本番

$Q$ は $a\le x\le 2$ です。右端は $P$ と共通の $2$ なので、比べるのは左端だけになります。

$P$ が $Q$ に含まれるとは、$P$ の左端 $1$ が $Q$ の中にあるということ。$Q$ の左端は $a$ なので、$a$ が $1$ 以下であればよい。

$$a\le 1$$

これが $a<2$ という前提とも矛盾しません。前提のほうが緩いので、そのまま答えになります。

上の黒い帯が $P$、下が $Q$ です。$a$ が左へ動くと $Q$ が伸び、$1$ を通り過ぎたところで緑に変わります。

$a$ が $1$ より右にあるあいだは、$P$ の左の部分が $Q$ からはみ出しています。$a$ がちょうど $1$ に重なった瞬間から、$P$ が $Q$ の中に収まる。

端点の比較だけで決まる

区間が区間に含まれる条件は、端点どうしの比較で書けます。$[p,q]\subseteq [r,s]$ となるのは、$r\le p$ かつ $q\le s$ のとき。

今回は右端がどちらも $2$ でそろっているので、$q\le s$ は $2\le 2$ で自動的に成り立ちます。残るのは左端の $r\le p$、つまり $a\le 1$ だけ。

端点が共通だと比較が $1$ 本で済みます。共通でない問題では $2$ 本とも書きます。

答え

$a\ge 2$ の場合は成り立たず、$a<2$ の場合に $a\le 1$ が出ました。合わせて次のようになります。

$$a\le 1$$

$a=1$ は答えに入ります。このとき $Q$ は $1\le x\le 2$ となり、$P$ とぴったり重なる。

同じ集合どうしでも「含まれる」は成り立ちます。はみ出していなければよいので、一致していても条件を満たす。

確かめる

$a=1$ を代入します。$2$ つ目の不等式は $x^2-3x+2\le 0$ で、$1$ つ目と同じ式になりました。解も同じ $1\le x\le 2$ です。

$a=0$ なら $x^2-2x\le 0$ で、解は $0\le x\le 2$。$P$ の $1\le x\le 2$ はこの中にすっかり入っています。

$a=1.5$ なら $x^2-3.5x+3\le 0$ で、解は $1.5\le x\le 2$。$P$ の左半分がはみ出すので条件を満たしません。だから範囲から外れています。

$a=3$ なら解は $2\le x\le 3$。$P$ とは端の $1$ 点しか重なりません。

逆向きに問われたら

同じ $2$ 式で「$2$ つ目の解が $1$ つ目の解に含まれる」と問われることもあります。今度は $Q\subseteq P$ です。

$a>2$ なら $Q=[2,a]$ で、$P$ の右端 $2$ を越えてしまいます。$a\le 2$ が要りますが前提と矛盾するのでなし。

$a=2$ なら $Q$ は $x=2$ の $1$ 点で、$P$ の中にあります。条件を満たす。

$a<2$ なら $Q=[a,2]$ で、左端が $P$ の左端 $1$ より右にあればよい。$a\ge 1$ です。

$$1\le a\le 2$$

包む側と包まれる側を入れ替えると、答えがまったく変わります。$a\le 1$ と $1\le a\le 2$ で、重なるのは $a=1$ の $1$ 点だけ。

問題文の「〜の解が〜の解に含まれる」という語順を、そのまま数直線の上下に写す。読み違えると答えが逆の側へ飛びます。

集合と命題の言葉に直す

$P\subseteq Q$ は、$x$ が $P$ に入れば必ず $Q$ にも入る、ということです。命題の言葉では次のようになります。

$$x\in P⟹x\in Q$$

このとき「$x\in P$ は $x\in Q$ であるための十分条件」、逆に「$x\in Q$ は $x\in P$ であるための必要条件」と呼びます。

範囲が狭いほうが十分条件、広いほうが必要条件です。「狭いほうから広いほうへ矢印が向く」と覚えると、包含の向きと結びつきます。

問題文が「$\cdots$ であるための十分条件となる $a$ の範囲」と書いてあれば、包含の問題に読み替えられます。逆に「必要条件」なら向きが反対になる。

類題

$x^2-4\le 0$ の解が $x^2-2ax+a^2-9\le 0$ の解に含まれる $a$ の範囲を求めよ。

$1$ つ目は $-2\le x\le 2$ です。$2$ つ目は $(x-a{)}^2\le 9$ と変形できます。

$$|x-a|\le 3,a-3\le x\le a+3$$

幅が $6$ で固定された区間が、$a$ とともに平行移動する形です。今度は端点が共通ではないので、比較を $2$ 本書きます。

$$a-3\le -2\text{かつ}2\le a+3$$

左から $a\le 1$、右から $a\ge -1$。合わせて $-1\le a\le 1$ です。

$a=1$ なら $Q=[-2,4]$ で $P=[-2,2]$ を覆います。$a=-1$ なら $Q=[-4,2]$ でこちらも覆う。$a=1.5$ なら $Q=[-1.5,4.5]$ で、$P$ の左端 $-2$ がはみ出します。

幅が固定されているので、動かせる範囲は $Q$ の幅と $P$ の幅の差で決まります。$6-4=2$ の余裕があり、それが答えの幅 $2$ になっている。

よくある誤り

参考文献