文章題から二次不等式を立てる！高校数学の応用問題

文章題の山は、式を立てるところにあります。$x^2-10x+21\le 0$ の形まで持ち込めれば、あとは因数分解して符号を読むだけ。

立式でつまずく場所は決まっています。何を $x$ に置くか、$x$ がどこまで動けるか、そして何と何を比べるのか。この 3 つを順に決めれば、式は自然に出てきます。

とくに 2 つ目が落ちやすい。長さは正、個数は $0$ 以上の整数、時間は $0$ 以上。この条件を書き忘れると、計算は合っているのに答えが違うということが起きます。

何を $x$ に置くかを決める

問われているものをそのまま $x$ に置きます。「縦の長さを求めよ」なら縦を $x$ にする。

置いたら、他の量を $x$ で表します。周の長さが $20$ の長方形で縦を $x$ とすれば、縦と横の和は $10$ なので横は $10-x$。

図に書き込むと、掛け算の相手が見えます。面積は縦かける横なので $x(10-x)$。ここまで来れば不等式は書けます。

動ける範囲を先に書く

$x$ は長さなので $x>0$。横も長さなので $10-x>0$、つまり $x<10$ です。

$$0<x<10$$

この条件を、不等式を解く前に書いておきます。あとから思い出そうとすると忘れる。式を立てた直後が、いちばん書きやすいところです。

定義域は問題文には書かれていません。長さ、個数、時間といった言葉から自分で読みとります。

例：面積が $21$ 以上になる範囲

周の長さが $20$ の長方形で、面積が $21$ 以上になる縦の長さを求めます。

面積は $x(10-x)$ なので、不等式はこうなります。

$$x(10-x)\ge 21$$

展開して整理します。$x^2$ の係数を正にそろえると、そのあとが楽になります。

$$-x^2+10x-21\ge 0,x^2-10x+21\le 0$$

両辺に $-1$ を掛けたので、不等号の向きが変わりました。因数分解すると $(x-3)(x-7)\le 0$ で、答えは内側です。

放物線が横線より上にある部分が、面積 $21$ 以上の範囲です。$3$ から $7$ まで。

定義域 $0<x<10$ と重ねます。$3\le x\le 7$ はまるごとこの中に入っているので、削られません。答えは $3\le x\le 7$ です。

縦が $3$ のとき横は $7$、縦が $7$ のとき横は $3$。同じ長方形を向きを変えて見ているだけなので、答えが左右対称になっています。

例：投げ上げた物が高さ $40$ 以上にある時間

地面から真上に投げ上げた物の高さが $h=30t-5t^2$ で表されるとします。$h$ はメートル、$t$ は秒です。

高さが $40$ メートル以上になる時間を求めます。

$$30t-5t^2\ge 40$$

$5$ で割ってから整理します。$t^2$ の係数を正にそろえるので、向きが変わります。

$$-t^2+6t-8\ge 0,t^2-6t+8\le 0$$

$(t-2)(t-4)\le 0$ より $2\le t\le 4$ です。

投げてから $2$ 秒後に $40$ メートルを越え、$4$ 秒後に下回ります。その間の $2$ 秒間が答えです。

定義域も確かめます。地面に戻るのは $30t-5t^2=0$ から $t=6$ 秒。$0\le t\le 6$ の中に $2\le t\le 4$ は収まっています。

グラフの形は放物線ですが、これは高さと時間の関係であって、物が飛んだ軌跡そのものではありません。真上に投げているので、軌跡は直線を往復します。

例：値上げと売上

$1$ 個 $100$ 円の品物が $200$ 個売れています。$10$ 円値上げするごとに、売れる数が $10$ 個減るとします。

売上を $21000$ 円以上にするには、何回値上げすればよいかを求めます。

値上げの回数を $x$ とすると、値段は $100+10x$ 円、売れる数は $200-10x$ 個。売上はその積です。

$$(100+10x)(200-10x)\ge 21000$$

左辺を展開します。

$$20000+1000x-100x^2\ge 21000$$

$100$ で割って整理し、$x^2$ の係数を正にそろえます。

$$x^2-10x+10\le 0$$

因数分解できないので解の公式を使います。$D=100-40=60$ です。

$$x=\frac{10\pm \sqrt{60}}{2}=5\pm \sqrt{15}$$

$\sqrt{15}\approx 3.87$ なので、範囲はおよそ $1.13\le x\le 8.87$ です。

ここで定義域が効きます。$x$ は値上げの回数なので $0$ 以上の整数。さらに売れる数が正である必要があり、$200-10x>0$ から $x<20$。

整数に絞ると $x=2,3,\dots ,8$ の $7$ 通りです。値段でいえば $120$ 円から $180$ 円まで。

$x=1$ を確かめます。$110\times 190=20900$ で、$21000$ に届きません。範囲から外れているのは正しい。

例：土地に道をつくる

縦 $12$ メートル、横 $20$ メートルの長方形の土地に、幅 $x$ メートルの道を縦横 $1$ 本ずつ通します。残った土地の面積を $180$ 平方メートル以上にしたい。

道を端へ寄せて考えます。縦の道を右端へ、横の道を下端へ動かしても、残る面積は変わりません。

寄せたあとの残りは、縦 $12-x$、横 $20-x$ の長方形 $1$ つです。

$$(12-x)(20-x)\ge 180$$

展開して整理します。

$$x^2-32x+60\ge 0,(x-2)(x-30)\ge 0$$

答えは外側なので $x\le 2$ または $x\ge 30$ です。

定義域は $0<x<12$。道の幅は正で、縦の長さより短くなければなりません。$x\ge 30$ はこの範囲の外なので消えます。

$$0<x\le 2$$

定義域が答えを削った例です。数学だけで解けば $2$ つの区間が出ますが、道の幅として意味があるのは片方だけ。

例：単位をそろえてから立式する

時速 $v$ キロメートルで走る車の制動距離が $\frac{v^2}{100}+\frac{v}{5}$ メートルだとします。制動距離を $30$ メートル以内にする速さを求めます。

$$\frac{v^2}{100}+\frac{v}{5}\le 30$$

分母を払います。両辺に $100$ を掛けても、$100$ は正なので向きは変わりません。

$$v^2+20v-3000\le 0,(v+60)(v-50)\le 0$$

$-60\le v\le 50$ ですが、速さは正なので $0<v\le 50$ です。時速 $50$ キロメートル以下。

$v$ の単位はキロメートル毎時、制動距離の単位はメートル。式の中で単位が混ざっていますが、問題文がその形で与えているならそのまま使います。自分で単位を変えると係数が合わなくなります。

例：連続する整数

連続する $2$ つの正の整数があり、その積が $132$ 以下になるとします。小さいほうの数の範囲を求めます。

小さいほうを $n$ とすると、大きいほうは $n+1$ です。

$$n(n+1)\le 132,n^2+n-132\le 0$$

$(n+12)(n-11)\le 0$ より $-12\le n\le 11$ です。

$n$ は正の整数なので $1\le n\le 11$。$n=11$ なら $11\times 12=132$ でちょうど条件を満たし、$n=12$ なら $12\times 13=156$ で超えます。

整数の条件は最後に効きます。先に不等式を解いて、そのあとで整数に絞る順番です。

答えを文章に戻す

不等式の答えが出たら、問題文の言葉に戻します。$3\le x\le 7$ で終わらせず、「縦の長さが $3$ メートル以上 $7$ メートル以下のとき」と書く。

単位を付け忘れると減点されることがあります。$x$ が何を表していたかを、答えの行にもう一度書くと安全です。

個数や回数なら、具体的に列挙するほうが伝わることもあります。「$2$ 回から $8$ 回まで」より「$2,3,4,5,6,7,8$ 回」のほうが確かめやすい場面もある。

よくある誤り

参考文献